[论文解读] A 3-dimensional singular kernel problem in viscoelasticity: an existence result

Sandra Carillo|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Elasticity and Material Modeling被引用 2

一句话总结

本文建立了具有奇异核的三维初始边界值问题在黏弹性力学中弱解存在的结果，其中松弛模量在 t=0 处无界，且其时间导数不可积。通过构造一系列正则化逼近，并利用弱收敛及关于核收敛的关键引理，作者在比经典黏弹性模型更宽松的正则性条件下证明了解的存在性。

ABSTRACT

Materials with memory, namely those materials whose mechanical and/or thermodynamical behaviour depends on time not only via the present time, but also through its past history, are considered. Specifically, a three dimensional viscoelastic body is studied. Its mechanical behaviour is described via an integro-differential equation, whose kernel represents the relaxation modulus, characteristic of the viscoelastic material under investigation. According to the classical model, to guarantee the thermodynamical compatibility of the model itself, such a kernel satisfies regularity conditions which include the integrability of its time derivative. To adapt the model to a wider class of materials, this condition is relaxed; that is, conversely to what is generally assumed, no integrability condition is imposed on the time derivative of the relaxation modulus. Hence, the case of a relaxation modulus which is unbounded at the initial time t = 0, is considered, so that a singular kernel integro-differential equation, is studied. In this framework, the existence of a weak solution is proved in the case of a three dimensional singular kernel initial boundary value problem.

研究动机与目标

• 为解决在松弛模量导数不可积时，具有奇异核的黏弹性模型缺乏存在性结果的问题。
• 通过去除对松弛模量导数标准可积性条件，推广经典黏弹性模型。
• 在较弱的正则性假设下，建立三维初始边界值问题在黏弹性力学中弱解存在的结果。
• 将先前的一维结果推广至三维情形，增强其在聚合物和生物组织等实际材料中的适用性。
• 为具有记忆特性的材料建模提供数学基础，其松弛响应在初始时刻具有奇异性。

提出的方法

• 使用松弛模量 K(t) 的线性积分微分方程表述黏弹性问题，其中 K'(t) 不属于 L¹(0,T)，导致核具有奇异性。
• 通过平移核的方式引入松弛模量的正则化逼近：Kεh(s) = ∫₀^{s} G(εh + τ)dτ，其中 G ∈ L¹(0,T) 但 Ẇ ∉ L¹。
• 在 H¹₀(Ω×(0,T)) 中使用测试函数定义问题的弱形式，导出包含应力与应变历史的积分恒等式。
• 构造正则化问题的一系列近似解 {uεh}，并证明其收敛性：在 H¹(0,T;H¹₀(Ω)) 中弱收敛，在 L²(Ω×(0,T)) 中强收敛。
• 证明一个关键引理（引理2），表明正则化核与原始核积分之间的差在 L² 意义下收敛于零。
• 利用近似解的收敛性及核收敛引理，在弱形式中取极限，从而证明奇异问题弱解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当松弛模量的导数不可积时，能否为三维黏弹性初始边界值问题建立弱解存在的结果？
• RQ2 如何对在 t=0 处松弛模量无界的奇异核模型进行数学表述与分析？
• RQ3 可采用何种逼近策略来处理核中的奇异性，同时保持问题的物理解释与数学结构？
• RQ4 经典黏弹性存在性理论在多大程度上可推广至正则性更低的松弛函数模型？
• RQ5 齐次边界条件及初始数据的正则性在保证近似解收敛性方面起到何种作用？

主要发现

• 本文证明了在三维初始边界值问题中，当松弛模量 G 满足 G ∈ L¹(0,T) 但 Ẇ ∉ L¹(0,T) 时，弱解存在的结果。
• 通过在核中引入平移量 εh，构造了一组正则化问题，确保近似核光滑且可积。
• 当 εh → 0 时，近似解 {uεh} 在 H¹(0,T;H¹₀(Ω)) 中弱收敛，在 L²(Ω×(0,T)) 中强收敛，从而保证极限函数 u 的存在性。
• 引理2表明，正则化核与原始核积分之间的差在 L² 意义下收敛于零，这是取极限过程的关键。
• 在极限下恢复了原始问题的弱形式，证实极限函数 u 以弱形式满足积分方程。
• 该结果推广了先前的一维存在性结果，并将分析框架扩展至三维，使具有奇异松弛行为的记忆材料建模成为可能。