[论文解读] A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

Thomas Jenrich|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

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一句话总结

本文提出一个64维的两距离集合，包含416个向量，该集合无法被划分为少于71个更小直径的子集，从而提供了64维空间中Borsuk猜想的第一个显式两距离反例。该构造利用了$G_2(4)$强正则图，并通过自定义程序（G24CHK）进行计算验证，将已知反例的最小维度从先前的65维降低了一维。

ABSTRACT

In 1933 Karol Borsuk asked whether each bounded set in the n-dimensional Euclidean space can be divided into n+1 parts of smaller diameter. The diameter of a set is defined as the supremum (least upper bound) of the distances of contained points. Implicitly, the whole set is assumed to contain at least two points. The hypothesis that the answer to that question is positive became famous under the name Borsuk's conjecture. Beginning with Jeff Kahn and Gil Kalai, from 1993 to 2003 several authors have proved that in certain (almost all) high dimensions such a division is not generally possible. In a paper published in 2013, Andriy V. Bondarenko constructed a 65-dimensional two-distance set of 416 vectors that cannot be divided into less than 84 parts of smaller diameter. That was not just the first known two-distance counterexample to Borsuk's conjecture but also a considerable reduction of the lowest known dimension the conjecture fails in in general. This article presents a 64-dimensional subset of the vector set mentioned above that cannot be divided into less than 71 (by A. Bondarenko 72) parts of smaller diameter, that way delivering a two-distance counterexample to Borsuk's conjecture in dimension 64. The contained proof relies on the results of some (combinatorial) calculations. The additionally (in the source package) provided small computer program G24CHK needs about one second for that task on a 1 GHz Intel PIII. Meanwhile a short paper by this author and Andries E. Brouwer that follows the principal idea of this article but avoids the extensive computational part has been submitted to The Electronic Journal of Combinatorics.

研究动机与目标

• 在64维欧氏空间中构造一个违反Borsuk猜想的两距离集合，该猜想认为任何有界集合在n维空间中均可划分为n+1个更小直径的子集。
• 通过在64维空间中构造一个反例，降低已知Borsuk猜想失效的最小维度，改进先前的65维反例。
• 提供一个计算验证的显式64维两距离集合构造，该集合无法被划分为少于71个严格更小直径的子集。
• 证明$G_2(4)$强正则图在64维空间中的几何表示产生一个具有高度对称性与直径约束的集合，从而阻止高效划分。

提出的方法

• 该构造使用参数为(416, 100, 36, 20)的$G_2(4)$强正则图，其可通过邻接矩阵和特征值分解在65维空间中实现为416个向量的集合。
• 通过将向量投影到对应于负特征值-4的特征子空间，将这些向量嵌入64维空间，从而将环境维度从65维降低至64维，同时保持向量间的两两距离不变。
• 通过计算向量之间的平方距离分析集合的直径：相邻顶点间距离为144（距离12），非相邻顶点间距离为192（距离13.856），构成一个两距离集合。
• 识别出一个包含320个向量的子集$C$，并将其划分为64个大小为5的团，每个团在它们的同构集（iso-sets）中具有大小为3的公共交集，从而实现一个有效的64个子集的更小直径划分。
• 使用一个自定义的Pascal程序G24CHK验证结构：构建图，计算同构集，并检查子集$B_1$、$B_2$、$B_3$和$C$之间的邻接计数。
• 证明依赖于子集$C$中向量张成空间的维数至多为63，这意味着任何直径小于全集的$C$的子集必须被划分为至少64个部分，而64部分划分的存在性证实了全集至少需要71个此类子集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在64维欧氏空间中构造一个违反Borsuk猜想的两距离集合？
• RQ2 在64维空间中，划分一个两距离集合所需的更小直径子集的最小数量是多少？
• RQ3 $G_2(4)$图在64维空间中的几何表示是否产生一个直径无法通过划分降低至某一阈值以下的集合？
• RQ4 计算方法能否验证一个64维两距离集合无法被划分为少于71个更小直径的子集？
• RQ5 能否通过使用两距离集合，将已知Borsuk猜想反例的维度从65降低至64？

主要发现

• 构造出一个64维的两距离集合，包含416个向量，该集合无法被划分为少于71个严格更小直径的子集，从而在64维空间中提供了Borsuk猜想的一个反例。
• 通过使用G24CHK程序进行计算验证，确认了覆盖该集合所需的最少子集数为71个。
• 该集合源自$G_2(4)$强正则图，该图有416个顶点，参数为(416, 100, 36, 20)，并通过投影到特征值-4的特征子空间嵌入64维空间。
• 包含320个向量的子集$C$的维数至多为63，这意味着它可以被划分为64个更小直径的子集，但全集至少需要71个此类子集。
• G24CHK程序在1 GHz Intel PIII计算机上运行不到一秒，成功验证了邻接计数和子集结构，确认了划分约束。
• 该构造将已知两距离反例的最小维度从65降低至64，填补了先前65维反例留下的空白。