[论文解读] A "bang-bang" principle for predicting the supremum of a random walk or Le'vy process

Pieter C. Allaart|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文為 Lévy 过程和随机游走的最优停时建立了一种类'bang-bang'原则，表明在最大化接近过程上确界时的奖励下，最优停时要么在时间 0，要么在时间 T。在步长或跳跃具有随机优势且漂移方向一致的条件下，最优策略是极端的：立即停止或等到最后，中间时刻停止均非最优。

ABSTRACT

Let (Xt)0�tT be a one-dimensional stochastic process with independent and stationary increments. This paper considers the problem of stopping the process (Xt) close as possible to its eventual supremum MT := sup0�tT Xt, when the reward for stopping with a stopping time � � T is a nonincreasing convex function of MT X�. Under fairly general conditions on the process (Xt), it is shown that the optimal stopping timeis of bang-bang form: it is either optimal to stop at time 0 or at time T. For the case of random walk, the rule � � T is optimal if the steps �1,�2,... of the walk stochastically dominate their opposites (that is, �isti), and the rule � � 0 is optimal if the reverse relationship holds. For Levy processes (Xt) with finite Levy measure, an analogous result is proved assuming that the jumps of Xt satisfy the above condition, and the drift of Xt has the same sign as the mean jump. Finally, conditions are given under which the result can be extended to the case of nonfinite Levy measure. AMS 2000 subject classification: Primary 60G40, 60G50, 60G51; secondary 60G25.

研究动机与目标

• 确定具有独立和平稳增量的随机过程的最优停时，以在接近其最终上确界时实现最大奖励。
• 研究在凸且非递增的奖励函数下，中间停时为何次优。
• 将随机游走中的 bang-bang 原理由扩展至具有有限或无限 Lévy 测度的 Lévy 过程。
• 确定在何种条件下，选择在时间 0 或时间 T 停止优于任何中间时间。

提出的方法

• 分析具有独立和平稳增量的过程 (Xt)，重点关注上确界 MT = sup₀≤t≤T Xt。
• 使用在上确界 MT 与停止值 Xτ 之差上为非递增且凸的奖励函数。
• 应用随机优势条件：过程的步长或跳跃随机支配其相反值。
• 施加符号一致性条件：Lévy 过程的漂移必须与均值跳跃同号。
• 采用样本路径分析和路径面对优化方法，证明任何中间停时均无法优于极端选择。
• 在额外的正则性和矩条件之下，将结果扩展至具有非有限 Lévy 测度的过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于具有独立和平稳增量的 Lévy 过程，预测其上确界时在时间 0 或时间 T 停止是最优的？
• RQ2 跳跃或步长相对于其相反值的随机优势如何影响极端停时的最优性？
• RQ3 漂移的符号在决定早期或晚期停时是否最优方面起什么作用？
• RQ4 bang-bang 原理能否扩展至具有无限 Lévy 测度的 Lévy 过程？若可，需满足何种条件？
• RQ5 奖励函数的凸性和单调性如何影响最优停时的结构？

主要发现

• 对于步长随机支配其相反值的随机游走，最优停时为 τ = 0 或 τ = T。
• 若随机游走的步长随机支配其相反值，则当奖励函数在距上确界的距离上为凸且非递增时，τ = 0 为最优停时。
• 对于具有有限 Lévy 测度的 Lévy 过程，若跳跃满足随机优势且漂移与均值跳跃同号，则 bang-bang 原理成立。
• 当 Lévy 测度非有限时，只要过程满足额外的矩条件和正则性条件，bang-bang 结果依然成立。
• 在给定的随机优势和漂移符号条件下，任何中间停时均无法优于 τ = 0 或 τ = T 的极端选择。
• 最优策略完全由增量的路径行为和随机序决定，与连续时间动态无关。