[论文解读] A Barrier Function Approach to Finite-Time Stochastic System Verification and Control

Cesar Santoyo, Maxence Dutreix+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Formal Methods in Verification被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的障碍函数方法，用于随机系统的有限时间安全性验证与控制，通过使用多项式障碍函数期望值的状态依赖界，计算更紧致的故障概率上界。该方法利用平方和优化实现高效计算，并可合成保证目标安全概率的多项式状态反馈控制器，在关键情形下优于以往的 c-鞅和上鞅方法。

ABSTRACT

This paper studies the problem of enforcing safety of a stochastic dynamical system over a finite-time horizon. We use stochastic control barrier functions as a means to quantify the probability that a system exits a given safe region of the state space in finite time. A barrier certificate condition that bounds the expected value of the barrier function over the time horizon is recast as a sum-of-squares optimization problem for efficient numerical computation. Unlike prior works, the proposed certificate condition includes a state-dependent upper bound on the evolution of the expectation. We present formulations for both continuous-time and discrete-time systems. Moreover, for systems for which the drift dynamics are affine-in-control, we propose a method for synthesizing polynomial state feedback controllers that achieve a specified probability of safety. Several case studies are presented which benchmark and illustrate the performance of our verification and control method in the continuous-time and discrete-time domains.

研究动机与目标

• 开发一种针对随机动力系统的有限时间安全性验证框架，提供比现有方法更紧致的概率故障上界。
• 将控制障碍函数扩展至具有有限时间范围的随机系统，实现验证与控制器综合的统一。
• 通过在特定状态空间区域限制为线性障碍函数，解决离散时间随机控制综合中的非凸性挑战。
• 通过平方和优化，为连续时间和离散时间系统提供统一的公式化方法。
• 通过涉及连续时间和离散时间随机系统的案例研究，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 本文引入一种障碍证书条件，通过其演化过程的状态依赖上界，对有限时间范围内非负多项式障碍函数的期望值进行约束。
• 期望演化约束被表述为平方和（SOS）优化问题，可通过半定规划实现高效数值计算。
• 对于连续时间系统，该方法利用随机过程的无穷小生成元推导期望演化条件。
• 对于离散时间系统，该方法计算一步后障碍函数的期望值，约束其低于一个状态依赖函数。
• 该方法通过将系统动态信息纳入期望界，推广了先前的上鞅和 c-鞅条件，提升了故障概率估计的紧致性。
• 针对仿射控制结构的系统，提出一种控制器综合方法，搜索满足障碍证书条件且达到目标故障概率的多项式状态反馈控制器。

实验结果

研究问题

• RQ1 对障碍函数期望演化的状态依赖界是否能提供比现有上鞅或 c-鞅条件更紧致的故障概率上界？
• RQ2 如何利用平方和优化在连续和离散时间中验证安全性并综合控制器，以应对有限时间随机系统？
• RQ3 在边界紧致性和计算效率方面，使用多项式障碍函数相较于指数障碍函数的性能增益如何？
• RQ4 在保持安全性保证的前提下，如何缓解离散时间控制综合中的非凸性问题？
• RQ5 与先前方法相比，该方法在高噪声场景下对故障概率上界改善的程度如何？

主要发现

• 在连续时间双积分器案例中，所提方法实现的故障概率上界为 0.10，与目标一致；而 c-鞅方法得到的上界为 0.15，更为宽松。
• 在 σ=0.1 的离散时间种群模型中，该方法计算出的故障概率上界为 0.069，与蒙特卡洛估计值 0.006 非常接近，表明其边界紧致。
• 在相同模型中 σ=0.3 时，上界为 0.574，而蒙特卡洛模拟得到的真实故障概率为 0.118，表明该边界虽保守但具有信息量。
• 在 σ=1.5 的离散时间控制综合中，该方法成功合成控制器，使故障概率上界为 0.512，当与控制努力的 c 值 2.074 结合时，满足目标 P_goal=0.10。
• 在离散时间系统中使用一阶线性障碍函数，使在受限区域内实现类似凸优化的求解，从而在保持固有非凸性的同时实现有效的控制器综合。
• 由于在期望约束中纳入了系统动态信息，所提方法始终比 c-鞅条件提供更紧致的故障概率上界，尤其在高噪声系统中表现更优。