[论文解读] A basic definition of spin in the new matrix dynamics

Tejinder P. Singh|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Quantum Mechanics and Applications被引用 1

一句话总结

本文在基于格拉塞曼代数和迹动力学的新矩阵动力学框架下，提出了一种自旋角动量的基本定义。它表明，在低能情况下，费米子表现出半整数自旋，玻色子表现出整数自旋，重现了标准量子统计，并从基本原理出发给出了自旋统计关系的初等推导。

ABSTRACT

We have recently proposed a new matrix dynamics at the Planck scale, building on the theory of trace dynamics. This is a Lagrangian dynamics in which the matrix degrees of freedom are made from Grassmann numbers, and the Lagrangian is trace of a matrix polynomial. Matrices made from even grade elements of the Grassmann algebra are called bosonic, and those made from odd grade elements are called fermionic. In the present article we provide a basic definition of spin angular momentum in this matrix dynamics, and introduce a bosonic(fermionic) configuration variable conjugate to the spin of a boson(fermion). We then show that at energies below Planck scale, where the matrix dynamics reduces to quantum theory, fermions have half-integer spin (in multiples of Planck's constant), and bosons have integral spin. We also show that this definition of spin agrees with the conventional understanding of spin in relativistic quantum mechanics. Consequently, we obtain an elementary proof for the spin-statistics connection.

研究动机与目标

• 在基于迹动力学和格拉塞曼代数的新矩阵动力学理论中定义自旋角动量。
• 为费米子和玻色子系统中的自旋建立共轭配置变量。
• 证明在低于普朗克能量尺度的能区，该矩阵动力学能重现标准量子理论。
• 从底层矩阵动力学推导出自旋统计关系，而不事先假设该关系。

提出的方法

• 使用由格拉塞曼数构造的矩阵构建拉格朗日动力学，其中拉格朗日量定义为矩阵多项式的迹。
• 根据格拉塞曼代数的分级，将矩阵分类为玻色子（偶次格拉塞曼元素）或费米子（奇次格拉塞曼元素）。
• 在矩阵动力学形式体系中，为费米子和玻色子引入与自旋共轭的配置变量。
• 推导矩阵动力学的低能极限，表明其可约简为标准量子理论。
• 分析该极限中出现的自旋量子数，确认费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自旋。
• 证明该理论与相对论性量子力学及传统自旋统计定理的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在基于格拉塞曼代数的矩阵动力学框架中定义自旋角动量？
• RQ2 共轭配置变量在该矩阵动力学中描述自旋时起什么作用？
• RQ3 该矩阵动力学如何在低能极限下重现观测到的自旋量子数（费米子为半整数，玻色子为整数）？
• RQ4 该框架是否自然导出自旋统计关系，还是需要额外假设？
• RQ5 该矩阵动力学中的自旋定义是否与标准相对论性量子力学一致？

主要发现

• 自旋角动量通过矩阵动力学形式体系中的共轭配置变量定义，对玻色子和费米子矩阵采用不同的处理方式。
• 在低能极限下，该理论重现了标准量子理论，其中费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自旋。
• 自旋量子数自然地从格拉塞曼代数结构和迹动力学拉格朗日量中涌现。
• 推导出的自旋统计与相对论性量子力学一致，证实了与已有物理理论的一致性。
• 该框架中自旋统计关系从第一性原理推导得出，无需将其作为公设预先假设。