[论文解读] A Baxter class of a different kind, and other bijective results using tableau sequences ending with a row shape

Sophie Burrill, Stephen Melczer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文引入了一类新的组合对象——高度至多为二且以矩形形状结束的迟滞标准杨表（hesitating tableaux），其计数由Baxter数给出，从而提供了三个此前未知的Baxter类，这些类不具有已知类中常见的对称对称性。此外，本文提出了一个关于以矩形形状结束的振荡杨表与高度至多为 $2k$ 的标准杨表之间深层双射的猜想，并通过生成函数分析在 $k \leq 8$ 时予以证明，揭示了其与格路及Weyl区域的新型联系。

ABSTRACT

Tableau sequences of bounded height have been central to the analysis of k-noncrossing set partitions and matchings. We show here that familes of sequences that end with a row shape are particularly compelling and lead to some interesting connections. First, we prove that hesitating tableaux of height at most two ending with a row shape are counted by Baxter numbers. This permits us to define three new Baxter classes which, remarkably, do not obviously possess the antipodal symmetry of other known Baxter classes. We then conjecture that oscillating tableau of height bounded by k ending in a row are in bijection with Young tableaux of bounded height 2k. We prove this conjecture for k at most eight by a generating function analysis. Many of our proofs are analytic in nature, so there are intriguing combinatorial bijections to be found.

研究动机与目标

• 识别并表征新的由Baxter数计数的组合类，其与已知类不同之处在于不具有对称对称性。
• 在高度有界为 $k$ 且以矩形形状结束的振荡杨表与高度至多为 $2k$ 的标准杨表之间建立双射关系。
• 通过生成函数分析为所猜想的双射提供分析性证据，结合Weyl区域中的格路计数。
• 探索以矩形形状结束的杨表序列与具有边界条件的Weyl区域中行走路径之间的联系，特别是那些终止于边界上的路径。
• 为这些组合类开发对角生成函数表示，利用轨道和方法与D-有限级数。

提出的方法

• 使用迟滞标准杨表——即Ferrers图序列，其中每步移动为以下三种之一：(1) 不动后添加，(2) 移除后不动，或 (3) 添加后移除——并将其限制在高度 $k$ 内。
• 通过Chen等人（2010）提出的映射 $\overline{\phi}$ 的改进版本，建立以矩形形状结束的迟滞标准杨表与 $W_k$-迟滞格路（在特定边界点结束）之间的双射。
• 应用轨道和方法，推导出在 $W_k$ 中边界 $\{me_1 + \delta : m \geq 0\}$ 上结束的格路的对角生成函数表达式。
• 利用Gessel-Zeilberger公式处理Weyl区域中可反射的格路，推导出以边界结束的振荡格路的猜想生成函数。
• 通过生成函数分析，证明了在 $k \leq 8$ 时，以矩形形状结束的振荡杨表与高度至多为 $2k$ 的标准杨表之间的猜想双射关系。
• 提出标准杨表（高度至多为 $k$）的生成函数的对角表示，涉及在 $z_1, \dots, z_{k-1}$ 上的有理函数上的对称群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在不具有对称对称性的、由Baxter数计数的新组合类？若存在，它们对应何种结构？
• RQ2 是否存在高度有界为 $k$ 且以矩形形状结束的振荡杨表与高度至多为 $2k$ 的标准杨表之间的双射？
• RQ3 能否将 $W_k$ 边界上结束的振荡格路的生成函数表示为有理函数的对角？
• RQ4 以矩形形状结束的杨表序列与具有边界条件的Weyl区域中的行走路径之间存在何种精确关系？
• RQ5 轨道和方法能否用于推导出高度有界的标准杨表数量的闭式生成函数？

主要发现

• 高度至多为二且以矩形形状结束的迟滞标准杨表由Baxter数计数，由此产生三个新的Baxter类，且不具有对称对称性。
• 在 $W_2$ 中长度为 $2n$ 且在点 $(m+2,1)$ 结束的迟滞格路数量，对所有 $m$ 求和，等于第 $(n+1)$ 个Baxter数：$\sum_{m=0}^n \ell^{(2)}_m(n) = B_{n+1}$。
• 所猜想的双射关系（在长度为 $n$、高度至多为 $k$ 且以矩形形状结束的振荡杨表与大小为 $n$、高度至多为 $2k$ 的标准杨表之间）在 $k \leq 8$ 时成立，经由生成函数分析验证。
• 基于轨道和技巧，提出了 $W_k$ 中在边界 $\{me_1 + \delta : m \geq 0\}$ 上结束的振荡格路数量的对角生成函数表达式。
• 提出了一个关于高度至多为 $k$ 的标准杨表的猜想对角生成函数，涉及在 $k-1$ 个变量上的有理函数上的对称群作用。
• 以边界结束的振荡格路的生成函数被表示为有理函数的对角，其中包含差积与对称函数的乘积，且在 $k=8$ 以内得到验证。