[论文解读] A Bellman approach for regional optimal control problems in $\R^N$

Guy Barles, Ariela Briani+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文为 $ackslash mathbb extigackslash{R}^N$ 中具有不连续动力学和运行成本的区域最优控制问题提出了一种贝尔曼方法，其不连续界面属于 $W^{2,ackslash extigackslash{infty}}$ 类。该文建立了带有新颖界面条件的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的粘性解框架，证明了极大解与极小解的存在性，并在减弱的可控性假设下，为有限与无限时域问题提供了唯一性与稳定性结果。

ABSTRACT

This article is a continuation of a previous work where we studied infinite horizon control problems for which the dynamic, running cost and control space may be different in two half-spaces of some euclidian space $\R^N$. In this article we extend our results in several directions: $(i)$ to more general domains; $(ii)$ by considering finite horizon control problems; $(iii)$ by weaken the controlability assumptions. We use a Bellman approach and our main results are to identify the right Hamilton-Jacobi-Bellman Equation (and in particular the right conditions to be put on the interfaces separating the regions where the dynamic and running cost are different) and to provide the maximal and minimal solutions, as well as conditions for uniqueness. We also provide stability results for such equations.

研究动机与目标

• 将先前关于两半空间中无限时域控制问题的结果推广至更一般的区域与有限时域问题。
• 减弱区域最优控制问题中唯一性与解存在性所需的可控性假设。
• 确定在 $ackslash mathbb extigackslash{R}^N$ 中穿过 $W^{2,\backslash extigackslash{infty}}$ 超曲面的不连续动力学与运行成本下，正确的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程及其界面条件。
• 建立极大与极小粘性解的存在性，并确定其唯一性的条件。
• 证明在数据扰动下 HJB 方程的稳定性结果，其性质与经典情况下的稳定性不同。

提出的方法

• 在分解 $\mathbb{R}^N = \Omega_1 \cup \Omega_2 \cup \mathcal{H}$ 上表述问题，其中 $\mathcal{H}$ 是分离两个具有不同动力学与运行成本区域的 $W^{2,\infty}$ 界面。
• 采用伊什伊对不连续哈密顿量的粘性解定义，通过上半连续与下半连续包络定义次解与超解。
• 施加界面条件：在 $\mathcal{H} \times (0,T)$ 上有 $\min\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \leq 0$ 与 $\max\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \geq 0$，以确保不连续性处的一致性。
• 使用上卷积与光滑化技术进行扰动处理，构造测试函数，并在局部区域证明比较原理。
• 在截断圆柱体 $\tilde{Q}_{\alpha,\varepsilon}$ 中采用比较论证，利用严格次解 $\tilde{u}_\alpha^\varepsilon - \eta t$ 防止内部出现最小值点。
• 令 $\varepsilon \to 0$ 与 $\alpha \to 0$ 取极限，得到比较原理 $\| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\tilde{Q})} \leq \| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\partial_p \tilde{Q})}$，从而证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当动力学与运行成本在 $ackslash mathbb extigackslash{R}^N$ 中的 $W^{2,\backslash extigackslash{infty}}$ 界面上不连续时，哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的正确形式是什么？
• RQ2 如何为具有不连续哈密顿量的区域控制问题中的 HJB 方程定义粘性解，并确保比较原理成立？
• RQ3 界面与动力学的哪些条件能保证有限时域区域最优控制问题中粘性解的存在性与唯一性？
• RQ4 与经典连续情形相比，该不连续设置下 HJB 方程的稳定性特性有何不同？
• RQ5 是否可以减弱区域最优控制问题中唯一性所需的可控性假设？

主要发现

• 本文确定了 HJB 方程的正确界面条件：在 $\mathcal{H} \times (0,T)$ 上有 $\min\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \leq 0$ 与 $\max\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \geq 0$，以确保在不连续性处的一致性。
• 证明了即使在不连续数据下，区域设定中 HJB 方程的极大与极小粘性解的存在性。
• 在减弱的可控性假设下建立了粘性解的唯一性，推广了先前要求更强全局可控性的结果。
• 推导出在局部区域的比较原理，表明 $\| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\tilde{Q})} \leq \| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\partial_p \tilde{Q})}$，当初始数据在抛物边界上一致时，该式蕴含唯一性。
• 获得了稳定性结果，表明解对数据扰动连续依赖，且收敛速率由 $\tilde{m}(\varepsilon) \to 0$ 控制，当 $\varepsilon \to 0$ 时成立。
• 该框架被推广至有限时域问题与更一般的区域，且在界面 $\mathcal{H}$ 具有正则性假设下，可简化为两个区域 $\Omega_1, \Omega_2$ 的情形。