[论文解读] A Bernstein problem for special Lagrangian equations in exterior domains

Dong‐Sheng Li, Zhisu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文在外部区域中建立了具有超临界相位的特殊拉普拉斯方程解的二次渐近性，证明了解在无穷远处趋近于唯一的二次多项式。该方法结合了完全非线性椭圆方程的外部Liouville定理与基于旋转的Hessian有界性技术，将结果推广至外部区域中的Monge-Ampère方程、二次Hessian方程及逆调和Hessian方程。

ABSTRACT

We establish quadratic asymptotics for solutions to special Lagrangian equations with supercritical phases in exterior domains. The method is based on an exterior Liouville type result for general fully nonlinear elliptic equations toward constant asymptotics of bounded Hessian, and also certain rotation arguments toward Hessian bound. Our unified approach also leads to quadratic asymptotics for convex solutions to Monge-Ampère equations (previously known), quadratic Hessian equations, and inverse harmonic Hessian equations over exterior domains.

研究动机与目标

• 在外部区域中，为具有超临界相位的特殊拉普拉斯方程建立一个外部Bernstein型结果。
• 证明具有超临界相位的解在无穷远处渐近趋近于唯一的二次多项式。
• 将渐近分析扩展至外部区域上Monge-Ampère、二次Hessian及逆调和Hessian方程的凸解。
• 通过外部Liouville定理与旋转论证，建立统一框架，以控制Hessian的增长并确立有界性。
• 证明临界相位条件是必要的，因为具有临界相位的解可能不表现出二次渐近性。

提出的方法

• 推导了一般完全非线性一致椭圆凹方程在有界Hessian条件下的外部Liouville定理，确保解的Hessian在无穷远处收敛。
• 应用Krylov-Safonov弱Harnack不等式与Evans-Krylov Hessian估计，以控制解的纯二阶导数。
• 采用先前工作（Y02, Y06）中的旋转装置，以在无梯度有界性条件下保证一致椭圆性与Hessian有界性。
• 使用Legendre变换将特殊拉普拉斯方程转化为具有有界Hessian的Laplace方程，从而实现渐近分析。
• 在变换空间中应用Schauder估计与散度论证，推导出n ≥ 3与n = 2情形下的精确渐近展开。
• 对于n = 2，通过π/2旋转与δ-函数论证，结合复分析与对数校正项，推导出对数渐近项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明具有超临界相位的特殊拉普拉斯方程在外部区域中的解渐近趋近于一个二次多项式？
• RQ2 在外部区域中，何种条件可确保解的Hessian有界且在无穷远处收敛？
• RQ3 当不假设梯度有界性时，如何控制完全非线性椭圆方程解的渐近行为？
• RQ4 渐近结果在多大程度上可推广至Monge-Ampère、二次Hessian及逆调和Hessian方程？
• RQ5 临界相位条件是否对二次渐近性是必要的？若该条件被违反，会发生什么？

主要发现

• 当n ≥ 3时，对任意满足|Θ| > (n−2)π/2的特殊拉普拉斯方程的光滑解，有u(x) = Q(x) + O_k(|x|^{2−n})，当|x| → ∞，对所有k ∈ ℕ成立。
• 当n = 2时，解满足u(x) = Q(x) + (d/2)log(x^T(D²Q)²x) + O_k(|x|^{−1})，当|x| → ∞，对所有k ∈ ℕ成立，其中d由边界积分显式给出。
• 解的Hessian在无穷远处收敛于一个常数矩阵A，且D²u(x) = A + O_k(|x|^{−n})，当|x| → ∞。
• 渐近二次多项式Q(x)是唯一的，其Hessian由D²u在无穷远处的极限唯一确定。
• 该方法可统一应用于外部区域上Monge-Ampère方程、二次Hessian方程及逆调和Hessian方程的凸解。
• 临界相位条件|Θ| ≥ (n−2)π/2是必要的，因为在临界相位处存在反例，证实了结果的最优性。