[论文解读] A Beurling-Chen-Hadwin-Shen Theorem for Noncommutative Hardy Spaces Associated with Semifinite von Neumann Algebras with Unitarily Invariant Norms

Lauren Sager, Wenjing Liu|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文建立了在具有酉不变、局部 $ Vert\cdot\rVert_1$-控制且相互连续的范数的半有限冯诺依曼代数上的非交换 Beurling-Chen-Hadwin-Shen 定理。该定理刻画了非交换 Banach 函数 空间中的 $H^\infty$-不变子空间，包括 $L^\alpha(\mathcal{M},\tau)$、交叉积 $ \mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z}$ 和 $B(\mathcal{H})$，表明这些子空间可分解为对角代数中部分等距算子与投影生成的子空间的行和。

ABSTRACT

We introduce a class of unitarily invariant, locally $\|\cdot\|_1$-dominating, mutually continuous norms with repect to $τ$ on a von Neumann algebra $\mathcal{M}$ with a faithful, normal, semifinite tracial weight $τ$. We prove a Beurling-Chen-Hadwin-Shen theorem for $H^\infty$-invariant spaces of $L^α(\mathcal{M},τ)$, where $α$ is a unitarily invariant, locally $\|\cdot\|_1$-dominating, mutually continuous norm with respect to $τ$, and $H^\infty$ is an extension of Arveson's noncommutative Hardy space. We use our main result to characterize the $H^\infty$-invariant subspaces of a noncommutative Banach function space $\mathcal I(τ)$ with the norm $\|\cdot\|_{E }$ on $\mathcal{M}$, the crossed product of a semifinite von Neumann algebra by an action $β$, and $B(\mathcal{H})$ for a separable Hilbert space $\mathcal{H}$.

研究动机与目标

• 将经典的 Beurling 定理推广至具有酉不变范数的半有限冯诺依曼代数上的非交换 Hardy 空间。
• 刻画非交换 Banach 函数空间 $\mathcal{I}(\tau)$、$L^\alpha(\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z},\tau)$ 和 $B(\mathcal{H})$ 中的 $H^\infty$-不变子空间。
• 利用对角子代数 $\mathcal{D} = H^\infty \cap (H^\infty)^*$ 中的投影与部分等距算子，建立此类不变子空间的结构定理。

提出的方法

• 在具有迹权 $\tau$ 的半有限冯诺依曼代数 $\mathcal{M}$ 上引入一类酉不变、局部 $\rVert\cdot\rVert_1$-控制且相互连续的范数。
• 将 $H^\infty$ 定义为 $\mathcal{M}$ 的弱*闭单位子代数，其上有到子代数 $\mathcal{D}$ 的忠实正规条件期望 $\Phi$，并满足半有限非交换 Hardy 空间的性质。
• 通过范数 $\rVert x\rVert_{\mathcal{I}(\tau)} = \rVert \mu(x)\rVert_E$ 构造非交换 Banach 函数空间 $\mathcal{I}(\tau)$，其中 $\mu(x)$ 是 $x$ 的奇异值函数。
• 利用谱理论与对称规范范数理论，将 $\mathcal{M}$ 上的酉不变范数与 $\mathbb{C}^n$ 上的对称规范范数联系起来，推广了冯诺依曼的结果。
• 证明 $L^\alpha(\mathcal{M},\tau)$ 及相关空间中 $H^\infty$-不变子空间可分解为由对角代数中部分等距算子 $u_\lambda$ 和投影 $q$ 生成的子空间的行和。
• 将主要定理应用于 $B(\mathcal{H})$ 和交叉积 $\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z}$ 中的不变子空间，表明它们由一族正交部分等距算子与投影生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何刻画具有酉不变范数的半有限冯诺依曼代数上非交换 Hardy 空间中 $H^\infty$-不变子空间？
• RQ2 在给定范数条件下，$L^\alpha(\mathcal{M},\tau)$、$\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z}$ 和 $B(\mathcal{H})$ 中的 $H^\infty$-不变子空间具有何种结构性质？
• RQ3 经典 Beurling 定理及其在非交换设定下的推广，在具有酉不变范数的非交换 Banach 函数空间中在多大程度上可以推广？

主要发现

• 本文证明了在 $L^\alpha(\mathcal{M},\tau)$ 中，$H^\infty$-不变子空间的非交换 Beurling-Chen-Hadwin-Shen 定理成立，其中 $\alpha$ 是相对于 $\tau$ 的酉不变、局部 $\rVert\cdot\rVert_1$-控制且相互连续的范数。
• 对于交叉积 $\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z}$，不变子空间 $\mathcal{K}$ 可分解为 $\mathcal{K} = (L^\alpha(\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z},\tau)q) \otimes^{\text{row}} (\otimes^{\text{row}}_{\lambda\in\Lambda} H^\alpha u_\lambda)$，其中 $q$ 是投影，$\{u_\lambda\}$ 是满足正交性与支撑条件的部分等距算子。
• 在 $B(\mathcal{H})$ 中，不变子空间 $\mathcal{K}$ 同构于 $\oplus^{\text{row}}_{\lambda\in\Lambda} H^\alpha u_\lambda$，其中 $u_\lambda$ 是 $H^\infty$ 中的部分等距算子，满足 $u_\lambda u_\mu^* = 0$（当 $\lambda \neq \mu$ 时），且 $u_\lambda u_\lambda^* \in \mathcal{D}$。
• 该刻画对任意满足网收敛条件的酉不变范数 $\alpha$ 成立：当 $e_\lambda \uparrow I$ 在弱*拓扑下收敛时，有 $\alpha((e_\lambda - I)x) \to 0$。
• 该结果可推广至 $B(\mathcal{H})$ 的下三角与上三角子代数，对不变子空间存在类似分解定理。
• 不变子空间的结构完全由对角代数 $\mathcal{D} = H^\infty \cap (H^\infty)^*$、$\mathcal{D}$ 中的投影以及 $H^\infty$ 中一族正交部分等距算子决定。