[论文解读] A BGK approximation to scalar conservation laws with discontinuous flux

Florent Berthelin, Julien Vovelle|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文建立了BGK松弛模型在空间间断通量的标量守恒律中收敛于熵解的结果。通过利用kinetic公式化方法和广义解的新还原定理分析BGK方程，证明了当松弛参数 $\varepsilon \to 0$ 时，BGK逼近在 $L^p$ 范数下强收敛于唯一熵解，从而解决了间断通量问题中的选择模糊性。

ABSTRACT

We study the BGK approximation to first-order scalar conservation laws with a flux which is discontinuous in the space variable. We show that the Cauchy Problem for the BGK approximation is well-posed and that, as the relaxation parameter tends to 0, it converges to the (entropy) solution of the limit problem.

研究动机与目标

• 解决具有间断通量函数的标量守恒律弱解中唯一性缺失的问题。
• 建立此类方程中BGK逼近的适定性。
• 证明BGK模型的松弛极限在 $\varepsilon \to 0$ 时强收敛于原始守恒律的熵解。
• 提出并证明一个还原定理，表明广义kinetic解与经典熵解一致。
• 为间断通量问题中的基于BGK的数值格式提供严格的理论基础。

提出的方法

• 将BGK模型表述为带有空间间断系数 $k(x)$ 和依赖速度的通量函数 $a(\xi)$ 的松弛kinetic方程。
• 引入平衡函数 $\chi_{u^\varepsilon}(\xi)$，即区间 $(0, u^\varepsilon)$ 的特征函数，以模拟向平衡态的松弛过程。
• 采用受 [BV06] 启发的kinetic公式化方法，使用kinetic测度 $m^\varepsilon$ 表示非平衡效应。
• 通过能量估计和 $L^\infty$ 中的弱紧致性，建立BGK方程解的存在性与唯一性。
• 提出一个还原定理（定理7），证明任意广义kinetic解必退化为经典熵解。
• 利用还原定理，推导出当 $\varepsilon \to 0$ 时，$f^\varepsilon$ 在 $L^p$ 范数下强收敛于 $\chi_u$，前提是存在一致的 $L^\infty$ 有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 BGK模型是否为具有间断通量的标量守恒律提供了适定逼近？
• RQ2 BGK松弛极限是否能强收敛于原始守恒律的熵解？
• RQ3 是否存在一种严格方法，可在通量间断导致多个弱解时选择唯一解？
• RQ4 能否证明通过kinetic测度定义的广义kinetic解可退化为经典熵解？
• RQ5 当初始数据不处于平衡态时，BGK模型的收敛性是否仍然成立？

主要发现

• 对于所有 $\varepsilon > 0$，BGK方程是适定的，其解属于 $L^\infty$ 且满足一致有界性。
• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，BGK逼近在 $L^p(Q \times \mathbb{R})$ 中对所有 $1 \leq p < \infty$ 强收敛于熵解 $\chi_u$。
• 收敛性通过一个还原定理（定理7）建立，该定理证明任意广义kinetic解必与经典熵解一致。
• 与BGK模型相关的kinetic测度 $m^\varepsilon$ 弱*收敛于一个非负测度 $m$，确保与熵条件的一致性。
• 即使初始数据 $f_0^\varepsilon$ 不处于平衡态，只要其在 $L^1$ 中弱收敛于初始状态 $f_0$，且满足 $u_0(x) = \int f_0(x,\xi) d\xi$，结论依然成立。
• 证明通过显式追踪kinetic公式化中的余项，修正了 [BV06] 原证明中的一个微小漏洞。