[论文解读] A bi-projection method for incompressible Bingham flows with variable density, viscosity and yield stress

Rénald Chalayer, Laurent Chupin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于具有空间和时间变化密度、塑性粘度和屈服应力的不可压缩Bingham流的双投影数值格式。通过结合分数步时间积分法与类似Uzawa的塑性应力张量投影，并引入伪时间松弛项，该格式确保了定点迭代的几何收敛性，实现了时间上的一阶精度，具有无条件稳定性及有界的密度范围。

ABSTRACT

A new numerical scheme for solving incompressible Bingham flows with variable density, plastic viscosity and yield stress is proposed. The mathematical and computational difficulties due to the non-differentiable definition of the stress tensor in the plug regions, i.e. where the strain-rate tensor vanishes, is overcome by using a projection formulation as in the Uzawa-like method for viscoplastic flows. This projection definition of the plastic tensor is coupled with a fractional time-stepping scheme designed for Newtonian incompressible flows with variable density. The plastic tensor is treated implicitly in the first sub-step of the fractional time-stepping scheme and a fixed-point iterative procedure is used for its computation. A pseudo-time relaxation term is added into the Bingham projection whose effect is to ensure a geometric convergence of the fixed-point algorithm. This is a key feature of the bi-projection scheme which provides a fast and accurate computation of the plastic tensor. Stability and error analyses of the bi-projection scheme are provided. The use of the discrete divergence-free velocity to convect the density in the mass conservation equation allows us to derive lower and upper bounds for the discrete density. The error induced by the pseudo-time relaxation term is controlled by a prescribed numerical parameter so that a first-order estimate of the time error is derived for the velocity field and the density, as well as the dependent parameters that are the plastic viscosity and the yield stress.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有可变密度、塑性粘度和屈服应力的不可压缩Bingham流的稳定且精确的数值格式。
• 克服Bingham本构关系在剪切速率消失的堵塞区域中的不可微性。
• 在不依赖正则化的情况下，精确解析屈服面和堵塞区域。
• 将此前仅用于常参数流的双投影框架扩展至可变参数流，并进行严格的稳定性与误差分析。
• 通过在连续性方程中使用无散速度作为对流场，保持密度的离散最大值原理。

提出的方法

• 采用分数步时间积分格式，将时间步长划分为预测步与投影步。
• 通过在带伪时间松弛项的类似Uzawa的投影公式上应用定点迭代来计算塑性应力张量，以确保几何收敛性。
• 伪时间松弛项由参数θ控制，该参数与时间步长δt成比例选取，以维持一阶精度。
• 在连续性方程中使用无散速度场对密度进行对流，确保密度具有离散的下界和上界。
• 该方法将塑性应力的投影与压力校正方法耦合，避免求解变系数椭圆方程。
• 通过能量法、离散Gronwall引理以及对速度、压力和应力的时间导数的有界性，推导出稳定性和误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将双投影格式扩展至具有可变密度、塑性粘度和屈服应力的不可压缩Bingham流，同时保持稳定性和精度？
• RQ2 在Bingham投影中引入伪时间松弛项，对定点算法的收敛速率和误差界有何影响？
• RQ3 在连续性方程中使用无散速度作为对流场，对离散密度演化及其边界有何影响？
• RQ4 当塑性应力张量采用隐式处理并通过带松弛的定点迭代求解时，所提格式是否仍保持时间上的一阶精度？
• RQ5 在材料参数可变的情况下，速度、密度及相关参数（塑性粘度、屈服应力）的理论误差界是什么？

主要发现

• 该格式在时间上实现一阶精度，误差界为O(√(δt(δt + θ)))，当θ与δt成比例选取时，退化为O(δt)。
• 伪时间松弛项确保了塑性应力张量定点迭代的几何收敛性，收敛比为(1 - θ)。
• 在连续性方程中使用无散速度作为对流场，确保了密度的离散下界和上界，保持了最大值原理。
• 该方法具有无条件稳定性，速度和密度的误差独立于时间步长和松弛参数而有界。
• 塑性应力张量的误差由预设的数值参数控制，整体格式对所有相关变量均保持一阶收敛性。
• 理论分析证实，伪松弛项不会降低格式的时间精度，该结论通过能量估计和离散Gronwall引理得到证明。