[论文解读] A Bialgebraic Approach to Automata and Formal Language Theory

James Worthington|ArXiv.org|Jul 28, 2008

semigroups and automata theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在交换半环上对自动机与形式语言的双代数框架，通过统一代数与余代数结构，将自动机建模为代数的表示对象，将语言建模为余代数的对偶。该框架建立了代数自动机与确定性自动机类别之间的伴随关系，并证明了$K$-线性自动机态射可作为任意半环上自动机等价性的完整证明系统。

ABSTRACT

A bialgebra is a structure which is simultaneously an algebra and a coalgebra, such that the algebraic and coalgebraic parts are "compatible". Bialgebras are normally studied over a field or commutative ring. In this paper, we show how to apply the defining diagrams of algebras, coalgebras, and bialgebras to categories of semimodules and semimodule homomorphisms over a commutative semiring. We then show that formal language theory and the theory of bialgebras have essentially undergone "convergent evolution", with the same constructions appearing in both contexts. For example, formal languages correspond to elements of dual algebras of coalgebras, automata are "pointed representation objects" of algebras, automaton morphisms are instances of linear intertwiners, and a construction from the theory of bialgebras shows how to run two automata in parallel. We also show how to associate an automaton with an arbitrary algebra, which in the classical case yields the automaton whose states are formal languages and whose transitions are given by language differentiation.

研究动机与目标

• 使用交换半环上的双代数统一自动机与形式语言的代数与余代数视角。
• 将自动机建模为代数的表示对象，将形式语言建模为余代数的对偶。
• 在代数自动机类别与确定性自动机类别之间建立伴随关系。
• 证明$K$-线性自动机态射可构成任意半环上自动机等价性的完整证明系统。
• 将现有的自动机等价性证明系统推广至任意半环。

提出的方法

• 在交换半环上的半模上定义代数、余代数与双代数，利用张量积的普遍性质。
• 在字母表上有限字的自由半模上构造双代数，其中连接运算为乘法，单词拆分运算为共乘法。
• 将自动机表示为带有初始状态与观测函数的模，并将自动机态射定义为保持语言接受性的线性互换子。
• 使用余代数的对偶表示形式语言，并证明共乘法在对偶模上诱导出乘法。
• 通过双代数结构构造自动机的并行复合，实现联合计算。
• 利用遗忘函子与自由函子，在代数自动机类别（$\mathfrak{A}$）与确定性自动机类别（$\mathfrak{D}$）之间建立伴随关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过半环上的双代数统一自动机理论中的代数与余代数结构？
• RQ2 自动机能否自然地建模为代数的表示对象，形式语言能否建模为余代数的对偶？
• RQ3 代数自动机与确定性自动机之间存在何种范畴关系？
• RQ4 $K$-线性自动机态射能否作为任意半环上自动机等价性的完整证明系统？
• RQ5 代数自动机与确定性自动机之间的伴随关系如何确保证明系统的完备性？

主要发现

• 在代数自动机类别与确定性自动机类别之间建立了伴随关系，实现了性质在范畴间的传递。
• 伴随关系的余单位提供了从确定性自动机上的自由代数自动机到原自动机的态射。
• 仅使用$K$-线性自动机态射作为推理规则，即可实现$K$-线性自动机等价性的完整证明系统。
• 该证明系统对等价的$K$-线性自动机是完备的，通过构造连接任意两个等价自动机的态射序列（经由其确定性对应物）得以证明。
• 该构造将先前在经典有限自动机上的结果推广至任意交换半环，且态射可由$K$上的矩阵表示。
• 证明了确定性自动机的最小化与其中蕴含代数结构的最小化同构，确保了各类别间的一致性。