[论文解读] A Big-Data Approach to Handle Process Variations: Uncertainty Quantification by Tensor Recovery

Zheng Zhang, Tsui-Wei Weng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 13被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种张量恢复方法，通过仅利用少量实际仿真（约几百次）即可估计出数万亿个仿真样本，从而在高维集成电路和微机电系统（MEMS）中实现高效的不确定性量化。该方法利用解张量中的低秩与稀疏结构，将张量积随机配置法扩展至具有超过50个随机参数的问题，显著降低了仿真成本，同时保持了高精度。

ABSTRACT

Stochastic spectral methods have become a popular technique to quantify the uncertainties of nano-scale devices and circuits. They are much more efficient than Monte Carlo for certain design cases with a small number of random parameters. However, their computational cost significantly increases as the number of random parameters increases. This paper presents a big-data approach to solve high-dimensional uncertainty quantification problems. Specifically, we simulate integrated circuits and MEMS at only a small number of quadrature samples, then, a huge number of (e.g., $1.5 \ imes 10^{27}$) solution samples are estimated from the available small-size (e.g., $500$) solution samples via a low-rank and tensor-recovery method. Numerical results show that our algorithm can easily extend the applicability of tensor-product stochastic collocation to IC and MEMS problems with over 50 random parameters, whereas the traditional algorithm can only handle several random parameters.

研究动机与目标

• 解决传统随机配置方法在纳米尺度器件高维不确定性量化中计算不可行的问题。
• 实现在具有超过50个随机工艺参数的集成电路和微机电系统中高效不确定性量化。
• 通过低秩张量恢复技术，将所需仿真次数从数万亿次减少至仅几百次。
• 在极端数据压缩下，仍能保持器件性能统计表征的高精度。
• 在具有高维参数空间的真实集成电路和微机电系统设计中，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 将随机配置问题的完整解空间表示为包含所有必需仿真样本的高阶张量。
• 建立低秩与稀疏张量恢复问题，仅通过少量采样仿真即可估计完整张量。
• 使用交替方向乘子法（ADMM）求解具有低秩与稀疏性约束的非凸优化问题。
• 应用TT分解（tensor-train decomposition）以降低计算复杂度，并提升高维问题的可扩展性。
• 引入广义多项式混沌（gPC）展开以表示解并计算统计矩。
• 使用交叉验证评估恢复张量的相对误差，确保精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量恢复技术能否显著减少集成电路和微机电系统中高维不确定性量化所需的仿真次数？
• RQ2 在仅使用约几百次仿真样本估计数万亿个解样本时，低秩与稀疏张量恢复在多大程度上能保持精度？
• RQ3 与传统张量积和稀疏网格随机配置方法相比，所提方法在效率与精度方面表现如何？
• RQ4 该方法能否处理具有超过50个随机工艺参数的真实集成电路和微机电系统设计？
• RQ5 恢复的解是否能像蒙特卡洛方法（使用5,000次样本）一样准确保留器件性能的统计分布？

主要发现

• 对于具有46个随机参数的MEMS电容器，仅使用300次仿真样本，该方法实现了仅0.1%的相对近似误差。
• 对于具有57个参数的7级CMOS环形振荡器，仅使用500次仿真即实现了恢复张量1%的相对误差。
• MEMS实例的算法在70次迭代内收敛，环形振荡器实例在46次迭代内收敛，表明收敛速度快。
• MEMS的广义多项式混沌系数相对误差低于10−4，振荡器的相对误差低于1%，表明精度极高。
• 从恢复模型中获得的输出（电容与频率）的概率密度函数与使用5,000次样本的蒙特卡洛方法结果几乎无法区分。
• 所需仿真次数（300–500次）远少于gPC展开中的基函数数量（1,711个），证明了计算上的显著优势。