[论文解读] A Bijection between well-labelled positive paths and matchings

Olivier Bernardi, Bertrand Duplantier+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文建立了大小为 $n$ 的良好标记正路径与 $2n$ 个元素上的无不动点匹配之间的一个构造性双射，证明了这两种结构均由双阶乘 $(2n-1)!!$ 计数。该双射通过递归分解和与标记二叉树的联系构建，实现了对水平步数的精细计数，并导出了关于具有受限上升-下降序列的排列的精确公式，例如在每个前缀中上升数不超过下降数的排列。

ABSTRACT

A well-labelled positive path of size n is a pair (p,σ) made of a word p=p_1p_2...p_{n-1} on the alphabet {-1, 0,+1} such that the sum of the letters of any prefix is non-negative, together with a permutation σof {1,2,...,n} such that p_i=-1 implies σ(i)σ(i+1). We establish a bijection between well-labelled positive paths of size $n$ and matchings (i.e. fixed-point free involutions) on {1,2,...,2n}. This proves that the number of well-labelled positive paths is (2n-1)!!. By specialising our bijection, we also prove that the number of permutations of size n such that each prefix has no more ascents than descents is [(n-1)!!]^2 if n is even and n!!(n-2)!! otherwise. Our result also prove combinatorially that the n-dimensional polytope consisting of all points (x_1,...,x_n) in [-1,1]^n such that the sum of the first j coordinates is non-negative for all j=1,2,...,n has volume (2n-1)!!/n!.

研究动机与目标

• 建立大小为 $n$ 的良好标记正路径与 $\{1,\ldots,2n\}$ 上无不动点匹配之间的双射对应关系。
• 通过组合方法证明多面体 $\Pi_n = \{(x_1,\ldots,x_n) \in [-1,1]^n \mid \sum_{i=1}^j x_i \geq 0 \text{ 对所有 } j\}$ 的体积，表明其等于 $\frac{(2n-1)!!}{n!}$。
• 通过路径中水平步数（即值为 0 的步数）对良好标记路径的计数进行细化，从而导出此类计数的显式公式。
• 枚举满足特定平衡条件的排列的上升-下降序列，例如每个初始段中上升数不超过下降数的排列。

提出的方法

• 作者定义了良好标记正路径和 Motzkin 路径的递归分解，将其结构转化为生成函数，以推导初始计数结果。
• 他们利用标记的标记二叉树作为中间结构，构建了良好标记正路径与匹配之间的双射，借助 Chen（2007）关于标记二叉树与匹配的构造。
• 该双射被进一步细化，以追踪路径中水平步数的数量，方法是分析对应标记二叉树中的准单叶节点，并追踪满足特定索引约束的匹配对。
• 该方法涉及从路径到标记树的递归映射 $\Phi'$，以及从树到匹配的映射 $\Psi'$，并保持如水平步数等结构不变量。
• 作者利用路径类型与排列上升-下降序列之间的对应关系，将结果特化到所有前缀中上升-下降不平衡受限的排列。
• 精细计数的证明依赖于涉及二项式系数和双阶乘的组合恒等式，通过归纳法和树与路径分解的结构分析推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 大小为 $n$ 的良好标记正路径的确切数量是多少？能否通过组合方法证明？
• RQ2 是否存在良好标记正路径与 $2n$ 个元素上无不动点匹配之间的自然双射？
• RQ3 如何通过水平步数（即值为 0 的步数）对这类路径的计数进行细化？
• RQ4 有多少个大小为 $n$ 的排列，使得每个初始段中上升数不超过下降数？
• RQ5 有多少个大小为 $n$ 的排列，其整体上升数比下降数多一个，但在任何初始段中上升数不超过下降数？

主要发现

• 大小为 $n$ 的良好标记正路径的数量恰好为 $(2n-1)!!$，通过与 $2n$ 个元素上无不动点匹配的构造性双射证明。
• 具有 $k$ 个水平步的大小为 $n$ 的良好标记正路径的数量为 $\binom{n}{k}\binom{n-1}{k}k![(n-k-1)!!]^2$，当 $n-k$ 为偶数时；否则为 $\binom{n}{k}\binom{n-1}{k}k!(n-k)!!(n-k-2)!!$。
• 大小为 $n$ 且具有正上升-下降序列（即所有前缀中上升数不超过下降数）的排列数量为 $[(n-1)!!]^2$（当 $n$ 为偶数时），否则为 $n!!(n-2)!!$。
• 大小为 $n$ 且具有 Dyck 上升-下降序列（整体上升数比下降数多一个，但在所有前缀中保持平衡）的排列数量为 $(n-1)!!(n-3)!!$（当 $n$ 为偶数时），否则为 0。
• 多面体 $\Pi_n = \{(x_1,\ldots,x_n) \in [-1,1]^n \mid \sum_{i=1}^j x_i \geq 0 \text{ 对所有 } j\}$ 的体积为 $\frac{(2n-1)!!}{n!}$，通过双射和子多面体分解进行组合证明。
• 该双射保持结构特征：路径中的水平步数等于对应标记二叉树中的准单叶节点数，后者又等于满足 $i \leq n$ 且 $j \in \{n+1,\ldots,2n-1\}$ 的匹配对 $(i,j)$ 的数量。