[论文解读] A birational Nevanlinna constant and its consequences

Min Ru, Paul Vojta|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 4被引用 11

一句话总结

本文引入了双有理 Nevanlinna 常数，这是对射影代数簇上有效 Cartier 除子的精细不变量，推广并扩展了 Nevanlinna 理论与丢番图逼近中的先前结果。通过利用 Autissier 的滤子与 Weil 函数，作者建立了一个统一框架，恢复并强化了 Evertse–Ferretti 与 Ru 的结果，证明若双有理 Nevanlinna 常数小于 1，则除子补集上的整点是退化的，即包含在某个真 Zariski 闭子集内。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to modify the notion of the Nevanlinna constant $\operatorname{Nev}(D)$, recently introduced by the first author, for an effective Cartier divisor on a projective variety $X$. The modified notion is called the birational Nevanlinna constant and is denoted by $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$. By computing $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ using the filtration constructed by Autissier in 2011, we establish a general result (see the General Theorem in the Introduction), in both the arithmetic and complex cases, which extends to general divisors the 2008 results of Evertse and Ferretti and the 2009 results of the first author. The notion $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ is originally defined in terms of Weil functions for use in applications, and it is proved later in this paper that it can be defined in terms of local effectivity of Cartier divisors after taking a proper birational lifting. In the last two sections, we use the notion $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ to recover the proof of an example of Faltings from his 2002 Baker's Garden article.

研究动机与目标

• 为解决原始 Nevanlinna 常数定义的局限性，该定义在证明中无法处理 Weil 函数的逐点最大值。
• 开发一种更一般的不变量——称为双有理 Nevanlinna 常数——以容纳在双有理提升下的局部有效性，并适用于任意除子。
• 在单一框架下统一并扩展关于整点与全纯映射的现有结果，特别是 Evertse–Ferretti（2008）与 Ru（2009）的结果。
• 利用新不变量重新获得 Faltings 在其 2002 年《Baker’s Garden》文章中给出的例子。
• 建立双有理 Nevanlinna 常数与 Evertse–Ferretti 常数之间的比较，证明前者总是小于或等于后者。

提出的方法

• 通过三元组 $(N,V,\mu)$ 定义双有理 Nevanlinna 常数 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D)$，其中 $V \subseteq H^0(X,\mathscr{L}^N)$ 为线性子空间，满足 $\dim V > 1$，且 $\mu > 0$ 为有理数，使得 $V$ 的基的 Weil 函数的最大值在常数误差内支配 $\mu N \lambda_D$。
• 利用 Autissier 于 2011 年提出的滤子构造所需的三元组，并验证使常数有限所必需的渐近增长条件。
• 证明双有理 Nevanlinna 常数可通过适当的双有理提升后，对 Cartier 除子的局部有效性条件等价定义。
• 建立比较定理，证明 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D) \leq \operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(\mathscr{L},D)$，其中 $\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}$ 为 Evertse–Ferretti 常数。
• 将该理论应用于 Faltings 的例子，通过证明在给定条件下双有理 Nevanlinna 常数小于 1，从而成功恢复其 2002 年文章中的例子。
• 利用比较结果推导出：若 $\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(D) < 1$，则 $X$ 上所有 $D$-整点均包含在某个真 Zariski 闭子集中。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始 Nevanlinna 常数能否被推广以处理需要 Weil 函数最大值的情形，而该最大值本身并非 Weil 函数？
• RQ2 新引入的双有理 Nevanlinna 常数是否提供了一个统一框架，能够恢复并扩展 Nevanlinna 理论与丢番图逼近中的已知结果？
• RQ3 双有理 Nevanlinna 常数是否总是有上界于 Evertse–Ferretti 常数？这一关系对整点退化性意味着什么？
• RQ4 新不变量能否用于重新证明经典结果，如 Faltings 在其 2002 年《Baker’s Garden》文章中给出的例子？
• RQ5 在何种条件下，双有理 Nevanlinna 常数小于 1 能够推出 $X \setminus D$ 上的整点是退化的？

主要发现

• 双有理 Nevanlinna 常数 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D)$ 通过 Weil 函数与滤子数据定义，且证明其等价于在适当双有理提升后对局部有效性的条件。
• 本文证明了 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D) \leq \operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(\mathscr{L},D)$，确立了新不变量始终小于或等于 Evertse–Ferretti 常数。
• 当 $\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(D) < 1$ 时，本文得出结论：$X$ 上所有 $D$-整点均包含在某个真 Zariski 闭子集中，意味着在某个真闭子集外仅有有限多个整点。
• 该框架成功恢复了 Faltings 在其 2002 年文章中的例子，表明 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(D) < 1$ 意味着整点的退化性。
• 对于任意射影代数簇 $X$ 与有效 Cartier 除子 $D$，若 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(D) < 1$，则每个具有 Zariski 稠密像的全纯映射 $f: \mathbb{C} \to X \setminus D$ 必为退化。
• 该方法提供了一种系统化计算双有理 Nevanlinna 常数的方法，借助滤子技术，从而可推导出非线性等价除子的新退化性结果。