[论文解读] A Black--Scholes Model with Long Memory

John A. D. Appleby, John A. Daniels+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种连续时间随机波动率模型，通过引入由过去收益驱动的随机泛函微分方程，在Black-Scholes框架基础上实现了长记忆性。研究证明，长程依赖仅当记忆核具有无限一阶矩时才会出现，并在规则变体核条件下推导出自协方差函数的精确渐近衰减速率。

ABSTRACT

This note develops a stochastic model of asset volatility. The volatility obeys a continuous-time autoregressive equation. Conditions under which the process is asymptotically stationary and possesses long memory are characterised. Connections with the class of ARCH($\infty$) processes are sketched.

研究动机与目标

• 开发一种具有长记忆性的连续时间随机波动率模型，扩展经典Black-Scholes框架。
• 刻画波动率过程在何种条件下渐近弱平稳且具有非平凡的长程依赖性。
• 建立连续时间模型与离散时间ARCH(∞)过程之间的联系。
• 确定在规则变体记忆核条件下，波动率自协方差函数的精确衰减速率。

提出的方法

• 模型采用随机泛函微分方程，其中波动率线性依赖于有限和无限时间范围内过去去趋势收益的加权平均。
• 波动率过程V(t)被定义为过去收益的线性泛函，记忆核λ和κ满足总变差和归一化条件。
• 通过研究相关积分方程的谱性质，分析V(t)的渐近平稳性与长程依赖性。
• 运用正规变体理论与Tauberian定理，推导出自协方差函数γ(Δ)在Δ → ∞时的精确渐近行为。
• 构建离散时间类比，使Vn+1由过去创新的加权和驱动，类似于ARCH(∞)，但作用于波动率过程本身。
• 理论结果通过随机微积分、鞅理论以及卷积型方程的渐近分析推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，所提模型中的波动率过程渐近弱平稳？
• RQ2 波动率过程在何种情况下表现出长程依赖性，即自协方差函数不可积？
• RQ3 当记忆核具有规则变体密度时，波动率自协方差函数的精确衰减速率是什么？
• RQ4 所提连续时间模型与离散时间ARCH(∞)过程之间有何关系？
• RQ5 记忆核的一阶矩在决定长记忆是否存在方面起什么作用？

主要发现

• 波动率过程V(t)渐近弱平稳当且仅当记忆核κ具有有限一阶矩，且稳定性条件β²∫₀^∞ K²(s)ds < 1成立。
• 长程依赖仅当记忆核κ具有无限一阶矩时出现，即∫₀^∞ s κ(ds) = ∞。
• 当记忆核k(s)为规则变体，指数为-1-α（α ∈ (0,1/2)）时，自协方差函数衰减为γ(Δ) ∼ C Δ¹⁻²ᵃ，当Δ → ∞。
• 当α > 1且k(s) ∈ RV∞(-1-α)时，自协方差衰减为γ(Δ) ∼ C Δ⁻ᵃ，其中C依赖于σ、β和核的范数。
• 当k(s) = L(s)s⁻³/²且L为慢变函数时，K ∈ L²(0,∞)当且仅当∫₁^∞ L(t)²/t dt < ∞，此时γ(Δ) ∼ C ∫Δ^∞ L(s)²/s ds。
• 离散时间类比表明，波动率过程渐近平稳当且仅当核序列(K_n)平方可 summable，且β²∑K_j² < 1，长记忆等价于∑j a_j = ∞。