[论文解读] A block preconditioned iterative method for Interior Penalty Discontinuous Galerkin discretisations of heterogeneous Stokes flow

Dominic Etienne Charrier, Dave A. May+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于变粘度 Stokes 流高阶不连续伽辽金离散化的块预条件迭代求解器，采用 $Q^2_k$--$Q_{k-1}$ 单元与层级勒让德多项式。当使用 $Q^2_1$ $p$-粗空间时，通过基于局部粘度的精确罚参数选择，该方法在粘度跃迁和多项式阶数 $k$ 变化下均表现出鲁棒的收敛性。

ABSTRACT

Provable stable arbitrary order symmetric interior penalty discontinuous Galerkin (SIP) discretisations of variable viscosity, incompressible Stokes flow utilising $Q^2_k$--$Q_{k-1}$ elements and hierarchical Legendre basis polynomials are developed and investigated.For solving the resulting linear system, a block preconditioned iterative method is proposed. The nested viscous problem is solved by a $hp$-multilevel preconditioned Krylov subspace method. For the $p$-coarsening, a twolevel method utilising element-block Jacobi preconditioned iterations as a smoother is employed. Piecewise bilinear ($Q^2_1$) and piecewise constant ($Q^2_0$) $p$-coarse spaces are considered. Finally, Galerkin $h$-coarsening is proposed and investigated for the two $p$-coarse spaces considered. Through a number of numerical experiments, we demonstrate that utilising the $Q^2_1$ coarse space results in the most robust $hp$-multigrid method for variable viscosity Stokes flow. Using this $Q^2_1$ coarse space we observe that the convergence of the overall Stokes solver appears to be robust with respect to the jump in the viscosity and only mildly depending on the polynomial order $k$. It is demonstrated and supported by theoretical results that the convergence of the SIP discretisations and the iterative methods rely on a sharp choice of the penalty parameter based on local values of the viscosity.

研究动机与目标

• 开发适用于变粘度不可压缩 Stokes 流的稳定、任意阶对称内罚不连续伽辽金（SIPDG）方法。
• 为高阶 DG 离散化所产生的线性系统设计一种高效的迭代求解器。
• 确保迭代方法在大粘度跃迁和不同多项式阶数 $k$ 下的鲁棒收敛性。
• 在 $hp$-多重网格框架下，研究不同 $p$-粗空间与 $h$-粗化策略的性能。
• 从理论上和数值上证明，罚参数必须基于局部粘度值选择，以实现最优收敛性。

提出的方法

• 使用 $Q^2_k$--$Q_{k-1}$ 有限元与层级勒让德基函数对 Stokes 问题进行离散化，适用于任意多项式阶数 $k$。
• 采用块预条件 Krylov 子空间方法求解线性系统，其中黏性子问题通过 $hp$-多层方法求解。
• 对于 $p$-粗化，采用两层方法，以单元块雅可比预条件作为光滑子。
• 考虑了两种 $p$-粗空间：分片双线性（$Q^2_1$）与分片常数（$Q^2_0$）有限元空间。
• 引入并评估了适用于两种 $p$-粗空间的 $h$-粗化策略，以提升鲁棒性。
• 在 SIPDG 格式中，罚参数基于局部粘度值选择，以确保稳定性和最优收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同 $p$-粗空间的选择如何影响变粘度 Stokes 流 $hp$-多重网格求解器的收敛性？
• RQ2 $h$-粗化与 $p$-粗化结合时，能否提升 $hp$-多重网格方法的鲁棒性？
• RQ3 罚参数对变粘度问题中 SIPDG 离散化的稳定性和收敛性有何影响？
• RQ4 求解器性能如何随多项式阶数 $k$ 和粘度跃迁变化而变化？
• RQ5 该迭代求解器的收敛性是否在广泛的粘度对比范围内均保持鲁棒？

主要发现

• 在变粘度 Stokes 流的 $hp$-多重网格求解器中，$Q^2_1$ $p$-粗空间表现出最鲁棒的性能。
• 整体迭代求解器的收敛性对大粘度跃迁具有鲁棒性，且对多项式阶数 $k$ 的依赖性较弱。
• 采用基于局部粘度值的罚参数对实现最优收敛性和稳定性至关重要。
• 理论分析表明，SIPDG 离散化与迭代方法的收敛性均依赖于这一精确的罚参数选择。
• 数值实验确认，在各种测试用例中，$Q^2_1$ 在鲁棒性与收敛速率方面均优于 $Q^2_0$。
• 将 $p$-粗化与 $h$-粗化结合可进一步提升求解器的鲁棒性与效率。