[论文解读] A blow-up criterion for 3-D compressible visco-elasticity

Yi Du, Chun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Elasticity and Material Modeling参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文通过证明：若密度 $\rho$ 和形变张量 $F$ 的 $L^\infty$ 范数无界，则局部强解的最大存在时间是有限的，从而为三维可压缩粘弹性流建立了爆破准则。分析结合了能量估计、梯度的 $L^q$-范数控制以及对数 Sobolev 不等式，表明 $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|F\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}$ 的有界性意味着 $\nabla u$ 的 $L^1(0,T;L^\infty)$-范数有界，这与已知的爆破条件矛盾。

ABSTRACT

In this paper, we shall prove a blow-up criteria in terms of the upper bound of the density, deformation tensor and the gradient of deformation tensor for 3D compressible visco-elasticity. Based on the structure of deformation tensor, we find a cancelation in higher order derivatives, which brings us the desired results.

研究动机与目标

• 建立一个依赖于密度与形变张量上界之三维可压缩粘弹性流的爆破准则。
• 通过关键物理量表征爆破，解决可压缩粘弹性中大初值全局存在性的开放问题。
• 将已知的可压缩 Navier-Stokes 系统爆破准则扩展至包含微观结构耦合的更复杂粘弹性系统。
• 基于 $\rho$ 与 $F$ 的 $L^\infty$-范数，提供最大存在时间有限的充分条件。

提出的方法

• 从连续性方程与形变张量方程推导 $\nabla\rho$ 与 $\nabla F$ 的演化方程。
• 对 $\rho^{1/q}\nabla\rho$ 与 $\rho^{1/q}\nabla F$ 应用 $L^q$-范数估计，使用加权能量方法。
• 利用对数 Sobolev 不等式，以 $\|\nabla^2 u\|_{L^q}$ 与 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 控制 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$。
• 对 $\nabla\rho$ 与 $\nabla F$ 的联合 $L^q$-范数应用 Gronwall 型不等式，以控制其增长。
• 利用恒等式 $\rho^{-1} = \det F / \rho_0$ 将 $F$ 的有界性与 $\rho^{-1}$ 的有界性联系起来，确保正则性。
• 采用反证法：假设 $\|\rho\|_{L^\infty} + \|F\|_{L^\infty}$ 有界，则导出 $\|\nabla u\|_{L^1(0,T^\star;L^\infty)} < \infty$，与 Hu-Wang 的爆破准则矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维可压缩粘弹性系统解在什么条件下于有限时间内爆破？
• RQ2 解的爆破能否由密度 $\rho$ 与形变张量 $F$ 的 $L^\infty$-范数表征？
• RQ3 若 $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|F\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}$ 有界，是否可防止粘弹性系统中的爆破？
• RQ4 速度、密度与形变张量之间的耦合如何影响解的正则性？
• RQ5 在粘弹性设定下，能否通过 $\rho$ 与 $F$ 的有界性来控制 $\nabla u$ 的 $L^1(0,T;L^\infty)$-范数？

主要发现

• 最大存在时间 $T^\star$ 有限当且仅当 $\|\rho\|_{L^\infty(0,T^\star;L^\infty)} + \|F\|_{L^\infty(0,T^\star;L^\infty)} = \infty$，从而建立了以密度与形变张量有界性为条件的爆破准则。
• $\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} + \|F\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}$ 的有界性意味着 $\|\nabla u\|_{L^1(0,T;L^\infty)} < \infty$，与 Hu-Wang 的爆破条件矛盾。
• $\nabla\rho$ 与 $\nabla F$ 的 $L^q$-范数通过能量估计与 Gronwall 不等式受控，对数 Sobolev 嵌入用于控制 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$。
• 恒等式 $\rho^{-1} = \det F / \rho_0$ 确保：若 $F \in L^\infty$ 且 $\rho_0 \geq \varepsilon_0 > 0$，则 $\rho^{-1}$ 有界，从而将 $F$ 的正则性与 $\rho$ 的正则性联系起来。
• 证明依赖于反证法：假设 $\|\rho\|_{L^\infty} + \|F\|_{L^\infty}$ 有界，将导出 $\|\nabla u\|_{L^1(0,T^\star;L^\infty)} < \infty$，违反 Hu-Wang 的已知爆破条件。
• 该结果将爆破准则从可压缩 Navier-Stokes 扩展至包含胡克弹性完整三维可压缩粘弹性系统。