[论文解读] A Blow-Up Criterion for the Compressible Navier-Stokes equations

Xiangdi Huang, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用 14

一句话总结

本文建立了三维可压缩纳维-斯托克斯方程强解的爆破准则，证明当速度梯度的 $L^∞$-范数的时间积分为发散时，奇异性即会发生。分析依赖于动量估计的莫泽迭代法以及密度梯度的空间-时间 $L^2$ 有界性，允许初始真空存在，并将贝莱-卡托-马贾达准则推广至可压缩流体。

ABSTRACT

In this paper, we obtain a blow up criterion for strong solutions to the 3-D compressible Naveri-Stokes equations just in terms of the gradient of the velocity, similar to the Beal-Kato-Majda criterion for the ideal incompressible flow. The key ingredients in our analysis are the a priori super-norm estimate of the momentum by a Moser-iteration and an estimate of the space-time square mean of the gradient of the density. In addition, initial vacuum is allowed in our case.

研究动机与目标

• 建立仅依赖于速度梯度的三维可压缩纳维-斯托克斯方程强解的爆破准则。
• 将不可压缩流体的贝莱-卡托-马贾达准则推广至可压缩流体，即使在存在初始真空的情况下亦成立。
• 通过密度和速度的正则性估计，证明在避免爆破的条件下强解的全局存在性。
• 证明最大存在时间 $T^*$ 由 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 在时间上的可积性决定。
• 提供一种框架，通过证明 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 有界可导致解的正则性延续，从而将局部解延拓至 $T^*$ 之后。

提出的方法

• 应用莫泽迭代法，推导动量 $\rho u$ 的先验超范数估计，通过 $L^q$-有界性控制其 $L^\infty$-范数。
• 建立密度梯度 $\nabla \rho$ 的空间-时间 $L^2$ 有界性，以控制压力项和源项。
• 利用连续性方程导出 $\partial_i \rho$ 的输运方程，随后以 $|\partial_i \rho|^{q_0-2} \partial_i \rho$ 为测试函数，获得 $L^{q_0}$ 估计。
• 推导出涉及 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 和源项 $F$ 的 $\|\nabla \rho\|_{L^{q_0}}$ 的微分不等式，从而获得一致有界性。
• 运用插值与嵌入定理闭合估计，确保 $u \in L^2(0,T; W^{2,q_0})$，从而实现解在 $T^*$ 之后的延续。
• 利用相容性条件和极限论证，证明若 $\int_0^T \|\nabla u\|_{L^\infty} dt < \infty$，则解可延拓至 $T^*$ 之后，若该积分发散则与最大性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种速度梯度条件下，三维可压缩纳维-斯托克斯方程的强解将无法全局存在？
• RQ2 能否仅以 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 的形式表述爆破准则，类似于不可压缩流体的贝莱-卡托-马贾达准则？
• RQ3 如何利用 $\nabla \rho$ 和 $\rho u$ 的正则性估计来控制 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 的增长？
• RQ4 初始真空的存在是否会影响全局存在的可能性，且爆破准则是否仍可建立？
• RQ5 若 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 的积分保持有限，是否可能将局部强解延拓至其最大存在时间 $T^*$ 之后？

主要发现

• 三维可压缩纳维-斯托克斯方程强解的最大存在时间 $T^*$ 由 $\int_0^T \|\nabla u\|_{L^\infty} dt$ 在 $T \to T^*$ 时发散所刻画。
• 即使存在初始真空，该爆破准则依然成立，这是对先前要求初始密度为正的显著推广。
• 通过莫泽迭代法获得的先验估计可对 $\|\rho u\|_{L^\infty}$ 获得一致有界性，这对控制动量方程至关重要。
• 空间-时间 $L^2$-范数 $\nabla \rho$ 在 $T^*$ 之前一致有界，从而可控制压力项和源项。
• 若 $\int_0^T \|\nabla u\|_{L^\infty} dt < \infty$，则解可延拓至 $T^*$ 之后，表明爆破恰好发生在该积分发散时。
• 该结果适用于有界区域和 $\mathbb{R}^3$，并通过使用德萨尔让的估计对周期情形 $T^2$ 做出微小修改后亦成立。