[论文解读] A bordism approach to string topology

David Chataur|ArXiv.org|Jun 4, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于 bordism 的几何同调框架，用于弦拓扑，利用 Hilbert流形和交叠理论构建环路乘积及其他运算。通过一种新型的 Gysin 同态，恢复了 Chas-Sullivan 弦拓扑代数结构，并将该结构扩展至 n-球面空间，包括一个度数为 3 的算子 Δ₃ 和一个 3-球面括号，通过 Sullivan 的弦图统一了各种运算。

ABSTRACT

Using intersection theory in the context of Hilbert manifolds and geometric homology we show how to recover the main operations of string topology built by M. Chas and D. Sullivan. We also study and build an action of the homology of reduced Sullivan's chord diagrams on the singular homology of free loop spaces, extending previous results of R. Cohen and V. Godin and unifying part of the rich algebraic structure of string topology as an algebra over the prop of these reduced diagrams. Some of these operations are extended to spaces of maps from a sphere to a compact manifold.

研究动机与目标

• 开发基于从紧致定向流形到流形的 n-球面空间的映射的 bordism 类的自由环路空间和 n-球面空间的几何同调理论。
• 通过 Hilbert 流形中的横截拉回构造交叠型乘积，如环路乘积。
• 将弦拓扑代数结构扩展至高维球面空间，特别是 S³。
• 定义并研究一个度数为 3 的算子 Δ₃ 和一个 3-球面括号，推广 BV 算子和括号。
• 通过 reduced Sullivan 弦图的 prop 代数结构，统一弦拓扑的丰富代数结构。

提出的方法

• 基于从紧致定向流形到流形的 n-球面空间的映射的 bordism 类，使用几何同调。
• 在 Hilbert 流形中应用横截性和拉回构造，以定义交叠型乘积。
• 为 Hilbert 流形引入一种新型 Gysin 同态，不依赖 Thom 空间，而是通过拉回和 cup 乘积实现。
• 通过涉及横截映射和符号约定的弦拉回构造定义球面乘积。
• 通过 S³ 作用于 3-球面空间构造 Δ₃ 算子，并利用叉积证明 Δ₃² = 0。
• 通过与 S³-纤维丛相关的 Gysin 正合序列定义 3-球面括号，确保反对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过几何同调和 Hilbert 流形技术重构弦拓扑运算（如环路乘积）？
• RQ2 BV 算子和括号结构能否从自由环路空间推广到更高维球面空间（如 3-球面空间）？
• RQ3 reduced Sullivan 弦图的同调在统一弦拓扑的代数结构中起什么作用？
• RQ4 如何在不使用 Thom 空间的情况下，为 Hilbert 流形构造 Gysin 同态？
• RQ5 新度数为 3 的算子 Δ₃ 和 3-球面括号在 3-球面空间同调上的代数性质是什么？

主要发现

• 球面乘积是结合且交换的，源于交叠乘积和 cup 乘积的结合性与交换性。
• 常值球面嵌入诱导从流形同调到 n-球面空间同调的分次交换代数同态。
• 交叠同态 I 是分次交换且结合的代数同态，通过与常值球面的球面乘积定义。
• 算子 Δ₃ 满足 Δ₃² = 0，通过叉积的结合性及特定几何类的零性证明。
• 3-球面括号是反对称的，通过 S³-纤维丛的 Gysin 正合序列定义，推广了 BV 括号。
• 弦拓扑的整个代数结构被统一为 reduced Sullivan 弦图的 prop 代数，扩展了先前结果。