[论文解读] A Bound for the Locating Chromatic Numbers of Trees

Ali Behtoei, Mahdi Anbarloei|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过提供反例推翻了关于树的定位色数先前声称的界，并基于最大度数建立了新的、紧致的上界。它构造了一类最大度数为 $4 \times 3^{k-3}$ 的树，其定位色数恰好为 $k$，证明该界为最优，并纠正了 Chartrand 等人先前工作中的错误。

ABSTRACT

Let $f$ be a proper $k$-coloring of a connected graph $G$ and $Π=(V_1,V_2,\ldots,V_k)$ be an ordered partition of $V(G)$ into the resulting color classes. For a vertex $v$ of $G$, the color code of $v$ with respect to $Π$ is defined to be the ordered $k$-tuple $c_{{}_Π}(v)=(d(v,V_1),d(v,V_2),\ldots,d(v,V_k)),$ where $d(v,V_i)=\min\{d(v,x): x\in V_i\}, 1\leq i\leq k$. If distinct vertices have distinct color codes, then $f$ is called a locating coloring. The minimum number of colors needed in a locating coloring of $G$ is the locating chromatic number of $G$, denoted by $\Cchi_{{}_L}(G)$. In this paper, we study the locating chromatic numbers of trees. We provide a counter example to a theorem of Gary Chartrand et al. [G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slater, P. Zhang, The locating-chromatic number of a graph, Bull. Inst. Combin. Appl. 36 (2002) 89-101] about the locating chromatic numbers of trees. Also, we offer a new bound for the locating chromatic number of trees. Then, by constructing a special family of trees, we show that this bound is best possible.

研究动机与目标

• 识别并纠正 Chartrand 等人关于树的定位色数定理中的错误。
• 基于其最大度数，为树的定位色数建立一个新的、紧致的上界。
• 构造一类实现所提上界的树，证明该界为最优。
• 证明先前声称的界 $\Delta(T) > (k-1)2^{k-2}$ 对于 $k > 4$ 并不紧致。
• 为一类实现定位色数 $k$ 的树提供一种构造性定位着色，其最大度数为 $4 \times 3^{k-3}$。

提出的方法

• 构造了一个最大度数为 36、定位色数恰好为 5 的反例树 $T_5$，反驳了 $\Delta(T) > 32$ 意味着 $\chi_L(T) \geq 6$ 的说法。
• 引入一类针对 $k \geq 5$ 的通用树 $T_k$，其顶点集 $V(T_k)$ 和边集 $E(T_k)$ 通过基于索引的二进制与三进制表示的递归结构定义。
• 定义一个顶点 $k$-着色 $f_k$，根据位置和索引值分配颜色，形成不同的颜色类 $V_i$。
• 将颜色码 $c_\Pi(v)$ 计算为到每个颜色类距离的 $k$-元组，使用克罗内克函数和向量运算。
• 使用向量记号 $e_i$ 和 $e = \sum e_i$ 系统化表达颜色码，确保所有顶点的颜色码互不相同。
• 通过分析 $\alpha_i$ 和 $\bar{\alpha}_i$ 的结构，证明所有颜色码互不相同，从而确保无重复。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $k \geq 3$，界 $\Delta(T) > (k-1)2^{k-2}$ 是否适用于 $\chi_L(T) > k$？
• RQ2 是否存在最大度数大于 $(k-1)2^{k-2}$ 但定位色数为 $k$ 的树？
• RQ3 先前声称的关于树的定位色数的界是否紧致？
• RQ4 基于最大度数，树的定位色数的最佳可能上界是什么？
• RQ5 能否构建一类构造性树，使其对给定的最大度数实现最优的定位色数？

主要发现

• 提供了反例：一棵最大度数为 36 的树 $T_5$，其定位色数恰好为 5，反驳了 $\Delta(T) > 32$ 意味着 $\chi_L(T) \geq 6$ 的说法。
• 新界 $\chi_L(T) \leq k$ 对于最大度数 $\Delta(T) \leq 4 \times 3^{k-3}$ 的树成立，且该界为紧致。
• 树族 $T_k$ 实现了 $\chi_L(T_k) = k$ 且 $\Delta(T_k) = 4 \times 3^{k-3}$，证明该界为最优。
• 定位着色 $f_k$ 被显式构造并证明可为所有顶点分配互不相同颜色码，确认其为有效的定位着色。
• 每个顶点的颜色码由其位置和索引唯一确定，基于向量的表达式确保无码冲突。
• 结果表明，Chartrand 等人先前的界对 $k > 4$ 并不紧致，而新界 $4 \times 3^{k-3}$ 是实现 $\chi_L(T) = k$ 的最优选择。