[论文解读] A bound from below on the temperature for the Navier-Stokes-Fourier system

Eric Baer, Alexis Vasseur|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文通过局部熵不等式与改进的 De Giorgi 迭代法，为具有非线性压力依赖性的可压缩 Navier-Stokes-Fourier 系统的弱解建立了温度的统一下界。关键结果表明，在物理上合理的假设下，即使压力关于温度不是仿射关系，温度在空间和时间上仍保持远离零。

ABSTRACT

We give a uniform bound from below on the temperature for a variant of the compressible Navier-Stokes-Fourier system, under suitable hypotheses. This system of equations forms a mathematical model of the motion of a compressible fluid subject to heat conduction. Building upon the work of [16], we identify a class of weak solutions satisfying a localized form of the entropy inequality (adapted to measure the set where the temperature becomes small) and use a form of the De Giorgi argument for $L^\infty$ bounds of solutions to elliptic equations with bounded measurable coefficients.

研究动机与目标

• 将 L∞ 估计的 De Giorgi 方法推广至具有非线性压力依赖性的可压缩 Navier-Stokes-Fourier 系统。
• 在物理上合理的本构关系下，为弱解建立温度的统一下界。
• 将先前要求压力关于温度为仿射关系的结果推广至更一般且热力学一致的模型。
• 识别出一类满足局部熵不等式的弱解，使得 De Giorgi 方法可被应用。
• 证明对于此类解，温度在空间和时间上保持均匀远离零。

提出的方法

• 将适用于有界可测系数椭圆方程的 De Giorgi 迭代技术，推广至时变的 Navier-Stokes-Fourier 系统。
• 利用熵不等式（不等式 14）的局部形式，控制温度趋近于零时的增长。
• 应用基于 Tchebyshev 不等式的非线性迭代方案，以传播温度的下界。
• 引入加权函数 W(θ, Ck, ‖ρ‖L∞) 以度量熵的差异，并控制低温区域的能量耗散。
• 采用一系列截断水平（Ck）以迭代方式逐步提高温度的下界。
• 结合有界密度与初始温度远离零的条件，以处理应力张量 S 的轻微非线性增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 当压力关于温度不是仿射关系时，能否为可压缩 Navier-Stokes-Fourier 系统弱解的温度建立统一下界？
• RQ2 De Giorgi 方法如何适应具有非线性熵律与压力律的系统？
• RQ3 哪类弱解允许使用局部熵不等式以从下方控制温度？
• RQ4 有界密度与初始温度远离零在将方法扩展至非仿射压力模型中起到何种作用？
• RQ5 在物理上合理的本构关系与弱解假设下，温度能否保持均匀远离零？

主要发现

• 对任意 τ ∈ (0, T)，存在 ητ,T > 0，使得对 a.e. τ < t < T 与 a.e. x ∈ Ω，有 θ(t, x) ≥ ητ,T，从而确立了温度的统一下界。
• 该结果在初始密度与速度满足 ρ ∈ L∞(0,T;Lω(Ω))（ω > 3）且 u ∈ L²(0,T;H¹₀(Ω)) 的假设下成立。
• 温度下界通过依赖于局部熵不等式与 Tchebyshev 不等式的 De Giorgi 型迭代方法建立。
• 在密度有界且初始温度远离零的情况下，可得到更强结果：对所有 t ∈ [0,T] 与 a.e. x ∈ Ω，有 θ(t,x) ≥ ηT > 0。
• 证明表明，若温度降至某一阈值以下，则熵平衡与质量守恒将被违反，除非温度有下界。
• 该方法在应力张量 S 展现轻微非线性增长时依然适用，前提是初始温度远离零。