[论文解读] A bounded homogeneous domain and a projective manifold are not relatives

Roberto Mossa|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文证明，配备齐次 Kähler 度量的有界齐次域与配备 Fubini–Study 度量的射影 Kähler 流形并非亲属关系，即它们无法通过全纯等距浸入共享一个非平凡的共同 Kähler 子流形。证明利用了全纯态映射、再生核以及 Calabi 的刚性定理，表明从域到复射影空间的全纯等距浸入的像无法通过有限维嵌入因子化为无限维射影空间。

ABSTRACT

Let $M_1$ and $M_2$ be two Kähler manifolds. One says that $M_1$ and $M_2$ are "relatives" if they share a non-trivial Kähler submanifold $S$, namely, if there exist two holomorphic and isometric immersions (Kähler immersions) $h_1: S -> M_1$ and $h_2: S -> M_2$. In this paper we show that a bounded homogeneous domain with a homogeneous Kähler metric and a projective Kähler manifold (i.e. a projective manifold endowed with the restriction of the Fubini-Study metric) are not relatives. Our result is a generalization of the result obtained by A. J. Di Scala and A. Loi (in "Kähler manifolds and their relatives", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 9 3 (2010), 495-501) for the Bergman metrics.

研究动机与目标

• 确定配备齐次 Kähler 度量的有界齐次域与射影 Kähler 流形是否可作为亲属，即通过全纯等距浸入共享一个非平凡的 Kähler 子流形。
• 将先前关于具有 Bergman 度量的有界域与射影流形之间非亲属关系的结果推广至更广泛的配备齐次 Kähler 度量的有界齐次域类。
• 利用再生核与全纯态的几何与分析性质，建立从这些空间到 Kähler 浸入的局部障碍。
• 证明从有界齐次域到复射影空间的 Kähler 浸入的像在通过全纯态提升至无限维射影空间时，无法被包含在有限维子空间中。

提出的方法

• 利用其拟凸性与 Hormander 的 L² 估计，构造有界齐次域 Ω 上的全局 Kähler 潜势 Φ。
• 定义加权希尔伯特空间 HλΦ，其元素为权函数为 e−λΦ 的全纯函数，并证明当 λ > 0 足够大时该空间非平凡。
• 引入 ε-函数 ελg(z) = e−λΦ(z)KλΦ(z,z)，由于等距群 G 的传递作用，该函数在 Ω 上为常数。
• 定义对角线函数 D(z) = log ψ(z,z)，其作为度量 g 的全局 Kähler 潜势，且在群作用下不变。
• 利用 Hλ𝒟 的标准正交基构造全纯态映射 φ: Ω → ℂP∞，并证明 φ∗gFS = λg，即 λg 是射影诱导的。
• 若存在 1 维 Kähler 子流形 S 同时等距浸入 Ω 与 ℂPm，则其在 φ 下的像将位于 ℂP∞ 的有限维子空间中，但全纯态映射要求无限维性，由此导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 配备齐次 Kähler 度量的有界齐次域与射影 Kähler 流形是否可通过全纯等距浸入共享一个非平凡的共同 Kähler 子流形？
• RQ2 有界齐次域上再生核非零且 ε-函数为常数，是否可阻止此类 Kähler 浸入进入射影空间？
• RQ3 即使不假设完备性或紧致性，是否存在从有界齐次域到有限维复射影空间的 Kähler 浸入的局部障碍？
• RQ4 通过 Hλ𝒟 中正交多项式构造的全纯态是否能检测到当 Kähler 浸入的像提升至 ℂP∞ 时的矛盾？
• RQ5 Calabi 的刚性定理是否意味着当定义域为有界且齐次时，Kähler 浸入到 ℂPm 的像无法通过全纯态映射因子化为 ℂP∞？

主要发现

• 由于等距群 G 的传递作用，对于足够大的 λ > 0，有界齐次域 Ω 上的 ε-函数 ελg(z,w) = e−λΦ(z,w)KλΦ(z,w) 为常数。
• 对角线函数 D(z) = log ψ(z,z) 是度量 g 的全局 Kähler 潜势，其对应的再生核 Kλ𝒟(z,w) 确保全纯态映射 φ: Ω → ℂP∞ 定义良好，并满足 φ∗gFS = λg。
• 希尔伯特空间 Hλ𝒟 包含所有多项式与常数函数，并存在由 z1 的多项式构成的标准正交基，从而导出复直线上的一列正交多项式 {Pk(z1)}。
• 全纯态映射 φ: Ω → ℂP∞ 是全纯且等距的，其像位于 ℂP∞ 的无限维子空间中。
• 若 1 维 Kähler 子流形 S 同时等距浸入 Ω 与 ℂPm，则其在 φ 下的复合像 φ∘f(S) 位于 ℂP∞ 的有限维子空间中，与 Calabi 的刚性定理矛盾。
• 因此，不存在此类共同的 Kähler 子流形 S，从而证明有界齐次域与射影 Kähler 流形并非亲属。