[论文解读] A Bourgain-Brezis-Mironescu characterization of higher order Besov-Nikol'skii spaces

Julien Brasseur|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文将 Bourgain-Brezis-Mironescu 框架扩展至高阶分数阶空间，通过涉及 $M$-阶差分的一类积分泛函，提供了对 Besov-Nikol'skii 空间 $B_{p,\infty}^{s}(ℝ^N)$ 的非局部表征。它建立了 $W^{1,p}$、$BV$ 和 $C^{0,1}$ 的等价范数，证明了新的非紧致性结果，并推导出利普希茨空间与 Besov 空间之间的极限与非极限嵌入关系。

ABSTRACT

We study a class of nonlocal functionals in the spirit of the recent characterization of the Sobolev spaces $W^{1,p}$ derived by Bourgain, Brezis and Mironescu. We show that it provides a common roof to the description of the $BV(\mathbb{R}^N)$, $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$, $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ and $C^{0,1}(\mathbb{R}^N)$ scales and we obtain new equivalent characterizations for these spaces. We also establish a non-compactness result for sequences and new (non-)limiting embeddings between Lipschitz and Besov spaces which extend the previous known results.

研究动机与目标

• 将 Bourgain、Brezis 和 Mironescu 对 Sobolev 空间与 BV 空间的非局部表征方法推广至高阶分数阶空间及 Besov-Nikol'skii 空间。
• 在统一的非局部泛函框架下，描述 $W^{1,p}$、$BV$、$B_{p,\infty}^{s}$ 和 $C^{0,1}$ 空间。
• 利用 $M$-阶差分与基于光滑核的泛函，建立 Besov-Nikol'skii 空间的新型等价表征。
• 推导这些空间中序列的新型非紧致性结果，并扩展已知的利普希茨空间与 Besov 空间之间的极限与非极限嵌入关系。

提出的方法

• 本文引入一个涉及 $M$-阶前向差分 $\Delta_h^M f(x)$ 与径向光滑核序列 $\rho_\varepsilon$ 的非局部泛函，并对凹函数 $\omega$ 进行积分。
• 利用 Littlewood-Paley 分解，通过二进频带局部化将非局部泛函与齐次 Besov 半范数 $\|f\|_{B_{p,\infty}^s}$ 关联起来。
• 证明依赖于将光滑核尺度 $\varepsilon \sim 2^{-j}$ 离散化，并应用 Lamy 与 Mironescu 关于 $\|f - f * \rho_{2^{-j}}\|_{L^p}$ 的已知估计，以控制 $2^{js}\|f_j\|_{L^p}$。
• 应用 Jensen 不等式，将差值 $\rho_\varepsilon * f - f$ 的 $L^p$-范数以含 $|h|^{-sp}$ 权重的非局部泛函形式有界。
• 作者将原始光滑核 $\rho$ 与其实紧支集截断版本 $\tilde{\rho}$ 进行比较，以将结果推广至非紧支集核的情形。
• 该框架被用于推导极限与非极限嵌入关系，包括 $W^{r,p}$ 范数在 $r \downarrow 0$ 时的临界情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $M$-阶差分将 Bourgain-Brezis-Mironescu 对 $W^{1,p}$ 的非局部表征方法推广至高阶 Sobolev 空间与 Besov-Nikol'skii 空间？
• RQ2 何种非局部泛函可为 Besov-Nikol'skii 空间 $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ 提供等价范数？
• RQ3 在非局部框架下，$W^{r,p}$ 与 $L^p$ 之间的极限嵌入关系在 $r \to 0$ 或 $r \to 1$ 时的行为如何？
• RQ4 在 $B_{p,\infty}^s$ 空间中，有界序列在非局部泛函下会引发何种非紧致性现象？
• RQ5 非局部泛函能否用于推导利普希茨空间与 Besov 空间之间的新嵌入关系？

主要发现

• 当 $s \in (0,M]$ 且 $\rho_\varepsilon$ 为径向光滑核时，泛函 $\int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N} \rho_\varepsilon(h) \frac{|\Delta_h^M f(x)|^p}{|h|^{sp}} \, dx \, dh$ 与 $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ 范数等价。
• 本文建立了新的极限嵌入关系：$\lim_{r \uparrow 1} (1-r)p \|f\|_{W^{r,p}}^p = K_{p,N} \|\nabla f\|_{L^p}^p$，将经典结果推广至高阶情形。
• 证明了非紧致性结果：在非局部泛函有界序列中，$B_{p,\infty}^s$ 中可能不存在弱收敛子列。
• 通过非局部泛函与 $\omega(t) = t \log(1+t)$，实现了对 $C^{0,1}(\mathbb{R}^N)$ 空间的表征，扩展了 $BV$ 与 $W^{1,p}$ 的结果。
• 在 $\operatorname{Lip}(\mathbb{R}^N)$ 与 $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ 之间建立了非极限嵌入关系，表明当 $s < 1$ 时有 $\|f\|_{B_{p,\infty}^s} \lesssim \|f\|_{\operatorname{Lip}}$，且指数部分为最优。
• 对 Lamy 与 Mironescu 的结果 $\|f\|_{B_{p,\infty}^s} \lesssim \|f\|_{L^p} + \sup_{\varepsilon \in (0,1)} \frac{\|\rho_\varepsilon * f - f\|_{L^p}}{\varepsilon^s}$ 进行了严格验证，并将其应用于非局部框架。