[论文解读] A BQP-complete problem related to the Ising model partition function via a new connection between quantum circuits and graphs

Joseph Geraci|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了一种量子线路与图之间的新型映射，使得在超图上对有符号欧拉子图生成函数 $E'(γ,\lambda)$ 的加法近似成为一个 BQP-完全问题。通过将该函数与二次有符号权重枚举（QWGTs）联系起来，本研究建立了与伊辛模型划分函数的直接联系，表明量子计算机能够高效近似该函数，而该函数在经典计算中对一般图而言是计算上不可行的。

ABSTRACT

We present a simple construction that maps quantum circuits to graphs and vice-versa. Inspired by the results of D.A. Lidar linking the Ising partition function with quadratically signed weight enumerators (QWGTs), we also present a BQP-complete problem for the additive approximation of a function over hypergraphs related to the generating function of Eulerian subgraphs for ordinary graphs. We discuss connections with the Ising partition function.

研究动机与目标

• 基于关联结构，建立量子线路与图之间的一种新且直接的对应关系。
• 定义一个有符号欧拉子图生成函数 $E'(γ,\lambda)$，该函数对标准生成函数进行了推广。
• 证明在超图上对 $E'(γ,\lambda)$ 的加法近似是 BQP-完全的。
• 通过 QWGTs 探索该函数与伊辛模型划分函数之间的联系。
• 研究该框架在非平面图上实现伊辛划分函数的多项式时间加法近似是否可行。

提出的方法

• 通过将量子线路中的量子比特映射为顶点、两量子比特门映射为边，基于线路的关联结构构造图。
• 利用线路关联矩阵的核与门相互作用导出的二次型，在超图上定义有符号生成函数 $E'(γ,\lambda)$。
• 利用量子线路与 QWGTs 之间的联系，证明近似 $E'(γ,\lambda)$ 是 BQP-完全的。
• 利用已知结果，通过欧拉子图生成函数将 QWGTs 与伊辛划分函数联系起来。
• 使用恒等式 $Z(\beta) = 2^{|V|} \prod_{\{i,j\}\in E} \cosh(\beta J_{ij}) \cdot E(\Gamma, \tanh(\beta J_{ij}))$ 将新函数与伊辛模型联系起来。
• 分析在何种条件下 $E'(\Gamma,\lambda) = E(\Gamma,\lambda)$，特别关注欧拉子图的奇偶性约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地将一个量子线路映射为图，使得线路的幺正演化对应于图子结构上的组合函数？
• RQ2 对有符号欧拉子图生成函数 $E'(\Gamma,\lambda)$ 的加法近似，对经典计算机而言是否计算困难？
• RQ3 $E'(\Gamma,\lambda)$ 与伊辛划分函数之间存在何种关系？在何种条件下 $E'(\Gamma,\lambda)$ 可用于近似 $Z$？
• RQ4 对于某些图类，是否可以预先满足条件 $a^T \text{lwtr}(H^T C H)a \equiv 0 \mod 2$ 对所有 $a \in \ker(CH)$ 成立，以确保 $E'(\Gamma,\lambda) = E(\Gamma,\lambda)$？
• RQ5 是否存在特定的非平面图，使得通过该框架可以实现伊辛划分函数的 BQP-完全近似？

主要发现

• 该构造基于关联结构，在量子线路与图之间建立了唯一对应关系，实现了线路元件到图组件的直接转换。
• 在超图上定义的有符号生成函数 $E'(\Gamma,\lambda)$ 被证明对加法近似是 BQP-完全的。
• 函数 $E'(\Gamma,\lambda)$ 在数学上与已知为 BQP-完全的二次有符号权重枚举（QWGTs）相关联。
• 伊辛划分函数可表示为标准生成函数 $E(\Gamma,\lambda)$ 的形式，本文识别出一个条件，使得 $E'(\Gamma,\lambda) = E(\Gamma,\lambda)$，从而为 $Z$ 的量子近似提供了可能。
• 必须满足条件 $a^T \text{lwtr}(H^T C H)a \equiv 0 \mod 2$ 对所有 $a \in \ker(CH)$ 才能确保 $E'(\Gamma,\lambda) = E(\Gamma,\lambda)$，但一般情况下验证该条件可能需要指数时间。
• 立方晶格被识别为所有欧拉子图均具有偶数条边的一类图，暗示其在高效线路表示方面具有潜力，从而实现高效近似。