[论文解读] A branch-and-price approach with MILP formulation to modularity density maximization on graphs

Keisuke Sato, Yoichi Izunaga|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文提出一种确定性分支定价算法，采用混合整数线性规划（MILP）公式，精确求解无向图中的模块度密度最大化问题。通过利用集合打包松弛和多重割平面技术，该方法在标准PC上四分钟内即可求解大规模真实世界实例（包括超过100个顶点的p53蛋白网络），获得精确最优解，且无随机波动。

ABSTRACT

For clustering of an undirected graph, this paper presents an exact algorithm for the maximization of modularity density, a more complicated criterion to overcome drawbacks of the well-known modularity. The problem can be interpreted as the set-partitioning problem, which reminds us of its integer linear programming (ILP) formulation. We provide a branch-and-price framework for solving this ILP, or column generation combined with branch-and-bound. Above all, we formulate the column generation subproblem to be solved repeatedly as a simpler mixed integer linear programming (MILP) problem. Acceleration techniques called the set-packing relaxation and the multiple-cutting-planes-at-a-time combined with the MILP formulation enable us to optimize the modularity density for famous test instances including ones with over 100 vertices in around four minutes by a PC. Our solution method is deterministic and the computation time is not affected by any stochastic behavior. For one of them, column generation at the root node of the branch-and-bound tree provides a fractional upper bound solution and our algorithm finds an integral optimal solution after branching.

研究动机与目标

• 通过引入模块度密度作为更优的聚类准则，解决传统基于模块度的社区检测中的分辨率极限和退化问题。
• 为模块度密度最大化开发一个精确优化框架，其复杂度高于标准模块度，因其具有非线性分数形式且依赖于社区大小。
• 通过将模块度密度优化建模为集合划分整数线性规划（ILP）并采用分支定价求解，克服其精确优化的计算不可行性。
• 通过列生成中的新型加速技术，实现对大规模图聚类问题（包括超过100个顶点的图）的高效求解。
• 提供一种确定性、非启发式的求解方法，保证最优结果，不依赖随机搜索或元启发式算法。

提出的方法

• 将模块度密度最大化建模为集合划分ILP，其中每一列代表一个潜在社区及其对模块度密度的贡献。
• 实现结合列生成与分支定界法的分支定价框架，迭代求解定价子问题。
• 将定价子问题重新表述为更简单的混合整数线性规划（MILP），从而利用标准优化求解器高效进行列生成。
• 对受限主问题引入集合打包松弛，以加速列生成过程中的收敛速度，减少对偶解时间。
• 应用一次添加多条割平面的技术，同时添加多个列，提升定价阶段的效率。
• 利用集合打包松弛的对偶解指导列生成，并在分支定价过程中动态更新集合划分约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用分支定价框架精确求解大规模真实世界图的模块度密度最大化问题？
• RQ2 集合打包松弛和多割平面等加速技术在减少模块度密度优化计算时间方面效果如何？
• RQ3 所提出的基于MILP的定价子问题公式是否相比以往方法能实现更快、更可靠的列生成？
• RQ4 该算法在标准基准实例上相较于现有启发式和元启发式方法的性能优势有多大？
• RQ5 对于超过100个顶点的图，该算法能否在实际时间限制内实现确定性最优解？

主要发现

• 所提出的分支定价算法结合MILP定价与加速技术，在标准PC上四分钟内求解了所有基准实例，包括Graph、Les Misérables、A00 main和Protein p53。
• 对于Protein p53实例（112个顶点），算法在根节点通过列生成获得分数上界后，成功找到最优整数解，验证了分支定价方法的有效性。
• 集合打包松弛显著减少了对偶解时间并改善了收敛性，尤其在早期迭代中优于单纯形对偶法。
• 一次添加多条割平面的技术减少了定价迭代次数，但增加了每次迭代的计算成本，因此在某些情况下不如单独使用集合打包松弛有效。
• 仅列生成的下界未能优于现有最先进启发式方法（如Santiago和Lamb，2017）在未求解实例上的表现，表明列生成本身并非一种强而独立的启发式方法。
• 该算法完全确定性，计算时间不受随机行为影响，确保了聚类结果的可重现性与可靠性。