[论文解读] A branching process with contact tracing

Martin T. Barlow|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文引入了一种具有接触追踪机制的超临界Galton-Watson分支过程，该机制以概率p在b代后检测感染者，并以成功概率α追踪接触者。关键结果建立了灭绝的判据：当且仅当一个递归定义的序列(vₙ)的和≤1时，该过程灭绝；当过程存活时，追踪过程的增长率由满足∑e⁻ⁿᶿvₙ = 1的Malthusian参数θ给出。

ABSTRACT

We consider a supercritical branching process and define a contact tracing mechanism on its genealogical tree. We calculate the growth rate of the post tracing process, and give conditions under which the tracing is strong enough to drive the process to extinction.

研究动机与目标

• 使用具有检测与追踪延迟的超临界分支过程对流行病中的接触追踪进行建模。
• 确定接触追踪能够使超临界流行病走向灭绝的条件。
• 刻画当接触追踪无法阻止传播时，流行病的渐近增长速率。
• 基于追踪效率(α)、检测延迟(b)和检测概率(p)推导灭绝与存活的确切判据。

提出的方法

• 将流行病建模为离散时间的Galton-Watson分支过程，其后代分布为(pₖ)。
• 引入在b代后以概率p进行检测，并以成功概率α进行接触追踪。
• 定义递归序列gₙ(s)与hₙ(s)，以追踪通过追踪路径存活的概率。
• 构建序列vₙ，以捕捉每代未被追踪个体的期望数量。
• 利用由∑e⁻ⁿᶿvₙ = 1定义的Malthusian参数θ，刻画追踪过程的指数增长速率。
• 应用多类型分支过程与鞅收敛性论证，证明ln Zₙᶜᵀ / n几乎必然收敛于θ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在检测延迟b与检测概率p的条件下，接触追踪何时会使超临界分支过程走向灭绝？
• RQ2 接触追踪的成功概率α如何影响流行病的存活或灭绝？
• RQ3 当接触追踪无法阻止传播时，流行病的渐近增长速率是多少？
• RQ4 后代分布如何影响灭绝的临界阈值α？
• RQ5 Malthusian参数θ能否用于量化追踪流行病过程的长期增长？

主要发现

• 在接触追踪后，该过程灭绝当且仅当∑ₙ₌₁^∞ vₙ ≤ 1，其中vₙ通过后代概率生成函数G及参数α、p、b递归定义。
• 当∑vₙ > 1时，过程以正概率存活，且Malthusian参数θ是∑e⁻ⁿᶿvₙ = 1的唯一解。
• 在存活事件上，几乎必然有limₙ→∞ (ln Zₙᶜᵀ)/n = θ，即追踪过程的对数增长速率满足该极限。
• 存在临界追踪成功率e_b(p)，使得当α > e_b(p)时，灭绝以概率1发生；当α < e_b(p)时，存活以正概率发生。
• 截断过程R^(N)的收敛性表明，通过考虑有限截断，θ的增长速率可被任意精确地逼近。
• 对于均值为2.5且p = 0.4的泊松后代分布，Malthusian函数θ(α)关于α单调，表明提高追踪效率可降低增长速率。