[论文解读] A Brezis-Nirenberg type result for mixed local and nonlocal operators

Stefano Biagi, Serena Dipierro+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2022

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 11

一句话总结

本文建立了混合局部与非局部算子（结合拉普拉斯算子与分数阶拉普拉斯算子）的Brezis-Nirenberg型结果。证明了相应Sobolev不等式中的最优常数等于经典的Sobolev常数$σ_n$，并关键性地表明该常数永远无法实现，从而在有界星形区域上当$λ \leq 0$时导致临界问题的解不存在。

ABSTRACT

We study a critical problem for an operator of mixed order obtained by the superposition of a Laplacian with a fractional Laplacian. In particular, we investigate the corresponding Sobolev inequality, detecting the optimal constant, which we show that is never achieved. Moreover, we present an existence (and nonexistence) theory for the corresponding subcritical perturbation problem.

研究动机与目标

• 研究涉及混合局部与非局部算子的临界问题的解的存在性与非存在性。
• 确定包含拉普拉斯算子与分数阶拉普拉斯算子的混合阶Sobolev不等式中的最优常数。
• 将经典的Brezis-Nirenberg框架扩展至混合阶算子，特别是分析参数$λ$在摄动问题中的作用。
• 建立混合Sobolev不等式中最优常数等于经典Sobolev常数$σ_n$，且该常数永远无法实现。

提出的方法

• 通过在$Ω$中对光滑紧支集函数取闭包，形式化函数空间设定，确保混合算子的能量空间定义良好。
• 证明混合Sobolev不等式中最优常数$σ_{n,s}(\Omega)$等于经典Sobolev常数$σ_n$，且与$s$和$Ω$无关。
• 使用Pohozaev型恒等式论证，表明在有界星形区域上，当$λ \leq 0$时，正解不存在。
• 通过在某一点处集中爆破轮廓的测试函数$t\eta_\varepsilon$，应用山路定理，分析能量泛函$σ_{\lambda,p}$。
• 通过涉及$ε^{\kappa_{s,n}}$与$ε^{\beta_{p,n}}$的渐近展开，估计能量泛函$σ_{\lambda,p}(t\eta_\varepsilon)$，根据指数大小关系区分不同情形。
• 通过分析临界点$t_{\varepsilon,\lambda}$及其在$λ \to \infty$或$ε \to 0$时的行为，建立能量泛函上确界的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合阶Sobolev不等式中的最优常数是否等于经典Sobolev常数$σ_n$？
• RQ2 混合Sobolev不等式$σ_{n,s}(\Omega)$中的最优常数是否依赖于区域$Ω$或分数阶参数$s$？
• RQ3 混合Sobolev不等式的极小化器是否存在，即最优常数是否可实现？
• RQ4 在何种条件下，摄动问题$σ u = u^{2^*-1} + \lambda u^p$在$Ω$中存在正解？
• RQ5 参数$λ$如何影响亚临界摄动问题中解的存在性？

主要发现

• 混合阶Sobolev不等式中的最优常数恰好为经典Sobolev常数：对所有$s \in (0,1)$及任意开集$Ω \subseteq \mathbb{R}^n$，有$σ_{n,s}(\Omega) = \mathcal{S}_n$。
• 最优常数$σ_{n,s}(\Omega)$永远无法实现，即关联变分问题中不存在极小化器。
• 当$λ \leq 0$时，在任意有界星形区域$Ω$中，摄动问题$σ u = u^{2^*-1} + \lambda u^p$不存在正解。
• 当$λ > 0$且$p \in [1, 2^* - 1)$时，山路定理保证摄动问题存在非平凡解。
• 当$λ$足够大时，能量泛函$σ_{\lambda,p}(t\eta_\varepsilon)$可统一有界于$\frac{1}{n}(\mathcal{S}_n)^{n/2}$，从而确保临界点的存在性。
• 临界点$t_{\varepsilon,\lambda}$的渐近行为取决于指数$\kappa_{s,n}$与$\beta_{p,n}$的相对大小，当$\kappa_{s,n} \leq \beta_{p,n}$时，有$t_{\varepsilon,\lambda} \to 0$当$λ \to \infty$。