[论文解读] A Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications

James Ferguson|ArXiv.org|Feb 23, 2004

History and Theory of Mathematics参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文对变分法的历史进行了全面的回顾，追溯了其从古希腊数学到文艺复兴物理学，再到19世纪和20世纪的严谨化过程以及现代应用的发展历程。文章强调了物理问题如何推动数学的进展，最终促成希尔伯特对狄利克雷问题的研究以及最优控制理论的出现，其应用遍及众多科学与工程领域。

ABSTRACT

In this paper, we trace the development of the theory of the calculus of variations. From its roots in the work of Greek thinkers and continuing through to the Renaissance, we see that advances in physics serve as a catalyst for developments in the mathematical theory. From the 18th century onwards, the task of establishing a rigourous framework of the calculus of variations is studied, culminating in Hilbert's work on the Dirichlet problem and the development of optimal control theory. Finally, we make a brief tour of some applications of the theory to diverse problems.

研究动机与目标

• 追溯变分法从古希腊数学起源到现代应用的历史演变。
• 考察物理问题在变分法理论发展中的催化作用。
• 分析18世纪建立变分法严谨基础的努力。
• 记录希尔伯特对狄利克雷问题的研究及其对最优控制理论兴起的影响。
• 展示变分法在科学与工程各个学科中的广泛应用。

提出的方法

• 考察17世纪以来的原始历史文献和关键数学进展。
• 分析物理问题（例如最小曲面、最速降线）与数学形式化之间的互动。
• 追踪从力学中的变分原理到抽象泛函分析与偏微分方程的演变过程。
• 研究希尔伯特对狄利克雷问题的贡献，作为现代变分理论基石的意义。
• 回顾最优控制理论的发展，作为经典变分法的自然延伸。
• 通过物理学、工程学和几何学中的精选实例，说明其应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 变分法如何在古希腊数学中起源，并在文艺复兴时期发展？
• RQ2 诸如最速降线和最小曲面等问题等物理问题在推动变分理论发展方面起到了哪些作用？
• RQ3 18世纪在建立变分法严谨基础方面面临的主要挑战是什么？
• RQ4 希尔伯特对狄利克雷问题的研究如何促进了变分方法的系统化？
• RQ5 现代科学与工程中变分法的主要应用有哪些？

主要发现

• 变分法起源于古希腊几何，特别是关于极小与极大性质的问题。
• 17世纪和18世纪形成了诸如最速降线和悬链线等基础问题，其发展源于物理直觉。
• 18世纪标志着变分原理的正式化，尤其是欧拉和拉格朗日在欧拉-拉格朗日方程方面的工作。
• 19世纪的变分法发展致力于严谨化，最终以希尔伯特解决狄利克雷问题告终。
• 希尔伯特的工作为现代泛函分析和偏微分方程理论奠定了基础。
• 20世纪，最优控制理论作为经典变分方法的重要延伸兴起，广泛应用于工程学和物理学。