[论文解读] A bundle gerbe construction of a spinor bundle from the smooth free loop of a vector bundle

Stuart Ambler|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过从一个具有纤维内积的偶秩向量丛导出的丛丛，构造了紧致、定向、黎曼流形的光滑自由环路空间上的旋量丛。通过丛丛编码极小化子空间（通过极化类）的连续选择，并证明其Dixmier-Douady类为零，作者构造了一个平凡化，从而得到一个不可约的Clifford模丛，即环路空间上的旋量丛。

ABSTRACT

A bundle gerbe is constructed from an oriented smooth vector bundle of even rank with a fiberwise inner product, over a compact connected orientable smooth manifold with Riemannian metric. From a trivialization of the bundle gerbe is constructed an irreducible Clifford module bundle, a spinor bundle over the smooth free loop space of the manifold. First, a Clifford algebra bundle over the loop space is constructed from the vector bundle. A polarization class bundle is constructed, choosing continuously over each point of the loop space a polarization class of Lagrangian subspaces of the complexification of the real vector space from which the Clifford algebra is made. Being unable to choose a Lagrangian subspace continuously from the polarization class over each point, the thesis constructs a bundle gerbe over the loop space of the base manifold to encode over each loop all such subspaces, along with the isomorphisms between the Fock spaces made from them, resulting from their being in the same polarization class. The vanishing of the Dixmier-Douady class of the bundle gerbe implies that the latter has a trivialization, from which is constructed a spinor bundle.

研究动机与目标

• 在紧致、定向、黎曼流形的光滑自由环路空间上构造旋量丛。
• 解决在环路空间上连续选择极化类内拉格朗日子空间的障碍。
• 使用丛丛作为几何工具，编码同一极化类中不同拉格朗日子空间对应的Fock空间之间的同构关系。
• 证明所构造的丛丛的Dixmier-Douady类为零，意味着其可平凡化，从而导致一个良定义的旋量丛的出现。
• 通过Gerbe理论与Clifford代数方法，建立从原始向量丛到旋量丛的函子性构造。

提出的方法

• 从原始向量丛的拉回构造环路空间上的Clifford代数丛。
• 定义一个极化类丛，为每条环路分配Clifford代数复化纤维中的拉格朗日子空间集合。
• 在环路空间上引入一个丛丛，以编码每个极化类中所有可能的拉格朗日子空间，以及其关联Fock表示之间的同构（互换算子）。
• 利用连续丛丛理论与Čech上同调，定义该丛丛的Dixmier-Douady类。
• 在给定假设下证明Dixmier-Douady类为零，意味着该丛丛可平凡化。
• 通过所选平凡化将旋量丛构造为丛丛的平凡化，其表现为Fock空间的希尔伯特丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用原始向量丛的几何与代数结构，在紧致、定向、黎曼流形的光滑自由环路空间上构造旋量丛？
• RQ2 在环路空间上，连续选择极化类内拉格朗日子空间的障碍是什么？如何通过几何方式编码？
• RQ3 由极化类与互换算子构造的丛丛是否具有平凡化？这对旋量丛的存在性有何意义？
• RQ4 该丛丛的Dixmier-Douady类为零，如何与全局定义的旋量丛的存在性相关联？
• RQ5 该构造能否实现函子性并保持在拉回下稳定，以确保在不同流形与丛之间的一致性？

主要发现

• 在紧致、定向、黎曼流形的光滑自由环路空间上，构造了一个丛丛，其基础为具有纤维内积的偶秩向量丛。
• 该丛丛编码了每个极化类中所有拉格朗日子空间的数据，以及其Fock表示之间的同构（互换算子）。
• 在给定假设下，该丛丛的Dixmier-Douady类为零，意味着该丛丛可平凡化。
• 该丛丛的平凡化产生了一个良定义的、不可约的Clifford模丛，即环路空间上的旋量丛。
• 该构造是函子性的，并在拉回下保持稳定，确保了与几何运算的一致性与兼容性。
• 该结果通过Gerbe理论方法，实现了环路空间上旋量丛的几何实现，解决了无限维几何与指标理论中长期存在的问题。