[论文解读] A Busemann hybrid projection-proximal point algorithm for optimization problems on Hadamard manifolds

R. Díaz Millán, O. P. Ferreira+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2026

Stochastic Gradient Optimization Techniques被引用 0

一句话总结

引入用于Hadamard流形上的凸优化的Busemann混合投影近端点算法（BHPPM），通过horosphere投影和Busemann亚微分实现Fejér下降、全局收敛性和亚线性复杂度。

ABSTRACT

We study optimization problems on Hadamard manifolds, motivated by recent advances in geometric approaches to optimization on curved spaces, particularly those involving the structure of Busemann functions. We introduce a projection based variant of the proximal point algorithm, termed the \emph{Busemann hybrid projection proximal point algorithm}, which replaces Euclidean hyperplanes with horospheres defined via convex Busemann functions. The algorithm performs projections in closed form using the gradients of these functions, resulting in a geometrically intrinsic scheme that requires no tangent space linear solves. We allow for inexact subgradient evaluations and prove global convergence under controlled inexactness, with a relative error level strictly below one. We establish a Fejér type descent and sublinear complexity with a rate proportional to the inverse square root of the iteration count, and show that the exact variant coincides with the classical Riemannian proximal point algorithm. The framework clarifies the role of Busemann based subdifferentials in optimization on spaces of nonpositive curvature.

研究动机与目标

• 在Hadamard流形上激发优化研究，并将凸优化工具扩展到非正曲率环境。
• 开发一种基于投影的近端方法，使用horospheres（基于Busemann的超平面）而非欧几里得超平面。
• 定义并采用Busemann亚微分以在曲面空间中支持凸性分析。
• 为算法的精确与非精确变体提供收敛性保证。
• 建立复杂度结果并阐明Busemann几何在黎曼优化中的作用。

提出的方法

• 通过Busemann函数梯度定义horosphere投影以实现闭式投影步骤。
• 构建与零曲率下的欧几里得亚梯度对齐且在一般情况下包含经典亚梯度的Busemann亚微分。
• 构造基于投影的近端方案，其精确版本简化为经典的Riemannian近端点算法。
• 允许以相对误差严格小于1的方式进行非精确子梯度评估并证明Fejér型下降。
• 证明全局收敛性和与迭代次数平方根的反比关系的亚线性迭代复杂度界。
• 当非精确度为零时，精确方法与标准的Riemannian PPA等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Busemann函数和horospheres纳入Hadamard流形上的近端/投影方法？
• RQ2 在受控相对误差下的非精确子梯度评估是否仍能保证收敛性和定量下降？
• RQ3 BHPPM的收敛性质与复杂度如何，以及其与经典Riemannian近端点算法的关系？
• RQ4 基于Busemann的亚微分与曲面空间中的欧几里得直觉及经典亚梯度之间存在何种联系？

主要发现

• BHPPM通过投影到由Busemann函数定义的horosphere实现Fejér型下降。
• 在相对误差界限严格小于1的前提下，非精确BHPPM全局收敛且具有亚线性收敛率。
• 精确BHPPM简化为经典的Riemannian近端点算法。
• Busemann亚微分包含于经典亚梯度中，与零曲率下的欧几里得直觉一致。
• 该框架阐明了在非正曲率空间优化中，基于Busemann的亚微分的作用。