[论文解读] A C-system defined by a universe category

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 9

一句话总结

本文提出了一种从范畴类（universe category）构造C-系统 $CC(\mathcal{C}, p)$ 的方法——其中范畴类被定义为一个范畴 $\mathcal{C}$，配有一条态射 $p: \widetilde{U} \to U$，在 $p$ 上选择的拉回，以及一个终对象。本文定义了范畴类函子，并证明这些函子诱导出C-系统的同态，且范畴类的等价关系诱导出C-系统的同构。其主要贡献在于：从范畴层级数据出发，以一种保持等价关系的方式，构造出C-系统的典范方法；并针对任意给定的C-系统，提供了三种显式构造范畴类及同构的方法。

ABSTRACT

This is a major update of the previous version. The methods of the paper are now fully constructive and the style is "formalization ready" with the emphasis on the possibility of formalization both in type theory and in constructive set theory without the axiom of choice. This is the third paper in a series started in 1406.7413. In it we construct a C-system $CC({\cal C},p)$ starting from a category $\cal C$ together with a morphism $p:\widetilde{U} ightarrow U$, a choice of pull-back squares based on $p$ for all morphisms to $U$ and a choice of a final object of $\cal C$. Such a quadruple is called a universe category. We then define universe category functors and construct homomorphisms of C-systems $CC({\cal C},p)$ defined by universe category functors. As a corollary of this construction and its properties we show that the C-systems corresponding to different choices of pull-backs and final objects are constructively isomorphic. In the second part of the paper we provide for any C-system CC three constructions of pairs $(({\cal C},p),H)$ where $({\cal C},p)$ is a universe category and $H:CC ightarrow CC({\cal C},p)$ is an isomorphism. In the third part we define, using the constructions of the previous parts, for any category $C$ with a final object and fiber products a C-system $CC(C)$ and an equivalence $(J^*,J_*):C ightarrow CC$.

研究动机与目标

• 定义从范畴类（即一个范畴 $\mathcal{C}$，配有一条态射 $p: \widetilde{U} \to U$，在 $p$ 上选择的拉回，以及一个终对象）构造C-系统 $CC(\mathcal{C}, p)$ 的方法。
• 定义范畴类函子，并证明它们诱导出C-系统的同态，且范畴类的等价关系诱导出C-系统的同构。
• 解决逆问题：对于任意给定的C-系统 $CC$，构造一个范畴类 $({\mathcal{C}}, p)$ 和一个同构 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$，并提供三种不同的构造方法。

提出的方法

• 将一个态射 $p: \widetilde{U} \to U$ 上的范畴结构定义为：对所有指向 $U$ 的态射，选择拉回正方形；当与一个终对象结合时，形成一个范畴类。
• 通过将对象定义为沿指向 $U$ 的态射的迭代拉回，将态射定义为相容的映射族，来构造C-系统 $CC(\mathcal{C}, p)$。
• 在范畴类之间定义范畴类函子，并通过拉回和Yoneda型构造，证明它们诱导出相关C-系统之间的函子。
• 利用Yoneda嵌入和一个忠实满函子 $int$，将 $\mathcal{C}$ 与 $PreShv(\mathcal{C})$ 关联起来，并从 $PreShv(\mathcal{C})$ 构造一个C-系统，其中配有一个合适的态射 $p_{\mathcal{C}}$。
• 为逆问题构造三种不同的解：给定一个C-系统 $CC$，构建一个范畴类 $({\mathcal{C}}, p)$ 和一个同构 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$，每种构造具有不同的结构优势。
• 证明所构造的函子 $J^*$ 和 $J_*$ 是忠实满的，并构成拟逆对，从而得到自然同构 $J_* \circ J^* \cong \text{id}$ 和 $\text{id} \cong J^* \circ J_*$，从而确立同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从一个配备有态射 $p: \widetilde{U} \to U$、在 $p$ 上选择的拉回以及一个终对象的范畴 $\mathcal{C}$，典范地构造出一个C-系统？
• RQ2 在什么条件下，范畴类函子会诱导出相关C-系统之间的同构？
• RQ3 任意给定的C-系统是否可以实现为某个范畴类 $({\mathcal{C}}, p)$ 的 $CC(\mathcal{C}, p)$？如果可以，有多少种这样的实现方式？
• RQ4 范畴 $\mathcal{C}$ 中终对象和拉回结构的选择，与所得到的C-系统 $CC(\mathcal{C}, p)$ 之间存在何种关系？
• RQ5 范畴类的集合是否具有2-范畴结构，从而诱导出到C-系统1-范畴的函子？

主要发现

• C-系统 $CC(\mathcal{C}, p)$ 的构造在同构意义下与终对象和拉回正方形的选择无关，这为记号 $CC(\mathcal{C}, p)$ 提供了合理性。
• 保持 $p$ 到同构的范畴类函子，若其为范畴的等价，则会诱导出C-系统的同构。
• 对于任意C-系统 $CC$，本文提供了三种不同的范畴类 $({\mathcal{C}}, p)$ 构造方法及同构 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$，每种方法具有不同的结构优势。
• $CC(\mathcal{C})$ 上的函子 $J^*: \mathcal{C} \to CC(\mathcal{C})$ 和 $J_*: CC(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$ 是忠实满的，并构成拟逆对，从而产生自然同构 $J_* \circ J^* \cong \text{id}$ 和 $\text{id} \cong J^* \circ J_*$。
• C-系统 $CC(\mathcal{C}, p)$ 的构造是函子性的，且尊重范畴的等价关系，使其成为目前唯一已知从范畴层级数据构造C-系统的方法，且能将等价关系转化为同构。
• 逆问题存在多种解，且明确展示了 $J^*$ 对终对象选择的依赖性，以及 $J_*$ 对拉回选择的依赖性，尽管最终得到的C-系统彼此同构。