[论文解读] A Calabi-Yau threefold with Brauer group (Z/8Z)^2

Mark Gross, Simone Pavanelli|ArXiv.org|Dec 9, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 9

一句话总结

该论文通过 $\mathbb{P}^7$ 中的 $\rho$-不变完全交构造了一个卡拉比-丘三fold $V^{1}_{8,y}$，通过解析64个普通双点，得到一个单连通三fold，其在 $\mathbb{P}^1$ 上具有纤维为 $(1,8)$-极化阿贝尔曲面的纤维结构。利用纤维的内良模型结构和单值不变同调类，作者计算了 $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ 的挠子群，并证明其同构于 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$，从而建立了首个已知的具有此布劳尔群结构的非单连通镜像卡拉比-丘三fold。

ABSTRACT

We calculate the Brauer group of a certain Calabi-Yau threefold discovered by Mark Gross and Sorin Popescu, which is a small resolution of a complete intersection of type (2,2,2,2) with 64 ordinary double points. We find the Brauer group is (Z/8Z)^2, which is the largest known example of a Brauer group of a Calabi-Yau threefold.

研究动机与目标

• 通过构造一个具有非平凡布劳尔群 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ 的卡拉比-丘三fold，以填补镜像对称与扭曲导出范畴中的空白。
• 利用 $\mathbb{P}^1$ 上以 $(1,8)$-极化阿贝尔曲面为纤维的纤维化结构，解析 $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ 中的上同调挠子群。
• 通过 $8$-挠子的截面在例外曲线上的作用，验证 $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ 的挠子群同构于 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$。
• 为一个非单连通镜像卡拉比-丘三fold 提供证据，其布劳尔群结构与 Strominger-Yau-Zaslow 猜想一致。

提出的方法

• 在 $\mathbb{P}^7$ 中构造 $V_{8,y} \subset \mathbb{P}^7$，作为由 $f = \sigma(f) = \sigma^2(f) = \sigma^3(f) = 0$ 定义的完全交，其中 $f$ 是一个次数为 8 的 $\mathbb{H}_8$-不变多项式。
• 通过一个小解析 $\mu: V^{1}_{8,y} \to V_{8,y}$ 解析 64 个普通双点，得到一个光滑的卡拉比-丘三fold，其 $h^{1,1} = h^{1,2} = 2$。
• 分析纤维化 $\pi: V^{1}_{8,y} \to \mathbb{P}^1$，其一般纤维为具有 $(1,8)$-极化的阿贝尔曲面，并证明 $\pi^\# = \pi|_{V^{1,\#}_{8,y}}$ 是内良模型，因此是一个群概形。
• 利用 Leray 谱序列和单值不变性，计算 $H^0(B, R^3\pi_*\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})$，将其识别为 $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ 的 $(1,3)$-部分 $T^{1,3}$。
• 通过 $\alpha \mapsto \log\alpha^*([e_0])$ 定义同态 $\varphi: G \to H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$，其中 $G \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ 是 $8$-挠子的截面群。
• 证明 $\varphi$ 同构地映射到 $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ 的挠子群，从而证明 $Tors(H^4) \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单连通、非奇异的卡拉比-丘三fold，其布劳尔群同构于 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$？
• RQ2 能否利用具有阿贝尔曲面纤维的纤维化结构的内良模型来计算卡拉比-丘三fold 的上同调挠子群？
• RQ3 卡拉比-丘三fold 的布劳尔群是否与纤维化中 Mordell-Weil 群的挠子群有关？
• RQ4 根据 Strominger-Yau-Zaslow 猜想，一个具有非平凡布劳尔群的卡拉比-丘三fold 的镜像是否可以是非单连通的？
• RQ5 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$ 布劳尔群的存在是否意味着镜像的万有覆叠是原始三fold？

主要发现

• 卡拉比-丘三fold $V^{1}_{8,y}$ 作为 $\mathbb{P}^7$ 中完全交的小解析构造而成，解析了 64 个普通双点，是光滑且单连通的。
• 纤维化 $\pi: V^{1}_{8,y} \to \mathbb{P}^1$ 的一般纤维为具有 $(1,8)$-极化的阿贝尔曲面，且非光滑支集 $Crit(\pi)$ 为有限集，因此可形成内良模型 $\pi^\#$。
• $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ 的挠子群同构于 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$，通过 $8$-挠子截面在例外曲线上的作用计算得出。
• 映射 $\varphi: G \to H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$，定义为 $\alpha \mapsto \log\alpha^*([e_0])$，是一个群同态，其像生成了挠子群。
• $H^4(V^{1}_{8,y},\mathbb{Z})$ 的挠子群由 $8$-挠子截面 $e$ 的例外曲线差 $[e] - [e_0]$ 生成，且该群同构于 $G \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^2$，从而证明了主要结果。
• 该结果支持如下猜想：$V^{1}_{8,y}$ 的镜像是 $V^{1}_{8,y}$ 关于 $G$ 中一个 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 子群的商，其基本群为 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$，布劳尔群为 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$。