[论文解读] A cancellation theorem for Milnor-Witt correspondences

Jean Fasel, Paul Arne Østvær|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 15

一句话总结

本文在特征不为2的无限完美域上建立了米尔诺-惠特尼对应关系的消去定理，证明了在有效米尔诺-惠特尼动机范畴中，与塔特对象 $ͷ\widetilde{\mathbb{Z}}(1)$ 的张量积诱导出态射集上的同构。该结果将维多维奇的消去定理推广至米尔诺-惠特尼设定，并蕴含米尔诺-惠特尼 motivic 上同调中的悬垂同构。

ABSTRACT

We show that finite Milnor-Witt correspondences satisfy a cancellation theorem with respect to the pointed multiplicative group scheme. This has several notable applications in the theory of Milnor-Witt motives and Milnor-Witt motivic cohomology.

研究动机与目标

• 在 motivic 同伦理论的背景下，建立有限米尔诺-惠特尼对应关系的消去定理。
• 将维多维奇针对有限对应关系的消去结果推广至米尔诺-惠特尼动机与层的设定。
• 证明与塔特对象 $ͷ\widetilde{\mathbb{Z}}(1)$ 的张量积在 $ͷ\mathrm{DM}^{\mathrm{eff}}(k,\mathbb{Z})$ 中诱导出态射集上的同构。
• 为米尔诺-惠特尼 motivic 上同调及其通过 motivic 空间谱的表示性提供基础工具。
• 支持如下猜想：米尔诺-惠特尼 motivic 上同调谱 $ͷ\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ 是一个 $Ω_T$-谱，从而增强 motivic 同伦论中的计算工具。

提出的方法

• 利用在完美域 $k$ 上光滑概族上的有限米尔诺-惠特尼对应关系范畴 $ͷ\widetilde{\mathrm{Cor}}_k$。
• 应用以未分支米尔诺-惠特尼 $K$-理论层（按线丛扭）为系数的罗斯特-施密德余链复形。
• 将塔特对象 $ͷ\widetilde{\mathbb{Z}}(1) = \widetilde{\mathbb{Z}}(\mathbb{P}^1)/\widetilde{\mathbb{Z}}(\infty)[-2]$ 作为 motivic 范畴中的悬垂对象。
• 依赖于通过 motivic 空间谱 $ͷ\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ 在稳定 motivic 同伦范畴中表示米尔诺-惠特尼 motivic 上同调。
• 利用同伦模与稳定 motivic 同伦范畴的中心之间的等价性，将 $ͷ\mathbf{M}^\heartsuit\widetilde{\mathbb{Z}}$ 与 $ͷ\mathbf{K}_\ast^{\mathrm{MW}}$ 关联起来。
• 应用莫雷尔与巴赫曼关于 motivic 球面谱同伦群的结果，以推导出 $ͷ\mathrm{SH}(k)$ 中的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限对应关系的消去定理是否可推广至包含二次型的米尔诺-惠特尼设定？
• RQ2 与塔特对象 $ͷ\widetilde{\mathbb{Z}}(1)$ 的张量积是否在 $ͷ\mathrm{DM}^{\mathrm{eff}}(k,\mathbb{Z})$ 中诱导出态射集上的同构？
• RQ3 是否可证明米尔诺-惠特尼 motivic 上同调谱 $ͷ\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ 是一个 $Ω_T$-谱？
• RQ4 在 $ͷ\mathbf{SH}(k)$ 中是否存在一个涉及 $ͷ\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$、$ͷ\mathbf{M}\mathbb{Z}/2$ 以及 motivic 球面谱的零阶有效切片的正合三角形？
• RQ5 同构 $ͷ\underline{\pi}_{\ast,\ast}\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}} \cong \mathbf{K}_\ast^{\mathrm{MW}}$ 如何与 motivic 空间谱的结构相关联？

主要发现

• 对所有米尔诺-惠特尼层的复形 $\mathscr{C}, \mathscr{D}$，与 $\u0377\widetilde{\mathbb{Z}}(1)$ 张量积所诱导的态射 $\mathrm{Hom}_{\u0377\mathrm{DM}^{\mathrm{eff}}(k,\mathbb{Z})}(\mathscr{C},\mathscr{D}) \to \mathrm{Hom}_{\u0377\mathrm{DM}^{\mathrm{eff}}(k,\mathbb{Z})}(\mathscr{C}(1),\mathscr{D}(1))$ 是同构。
• 米尔诺-惠特尼 motivic 上同调谱 $\u0377\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ 是 $\mathrm{Sp}^\Sigma(\mathcal{M}_k, T)$ 中的 $\Omega_T$-谱，意味着其在 motivic 稳定范畴中是纤维化的。
• 存在一个 Nisnevich 层的典范同构 $\mathbf{K}_\ast^{\mathrm{MW}} \cong \underline{\pi}_{\ast,\ast}\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$，将米尔诺-惠特尼 $K$-理论与 motivic 空间谱的同伦群联系起来。
• 在 $\mathbf{SH}(k)$ 的 $t$-结构中心中的 motivic 空间谱 $\u0377\mathbf{M}^\heartsuit\widetilde{\mathbb{Z}}$ 同构于未分支米尔诺-惠特尼 $K$-理论层 $\mathbf{K}_\ast^{\mathrm{MW}}$。
• motivic 球面谱的零阶有效切片 $\widetilde{s}_0\mathbf{1}$ 在 $\mathbf{SH}(k)$ 中满足正合三角形 $\Sigma^{1,0}\mathbf{M}\mathbb{Z}/2 \to \widetilde{s}_0\mathbf{1} \to \mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$，前提是 $\u0377\mathbf{M}^\heartsuit\widetilde{\mathbb{Z}}$ 与 $\u0377\mathbf{M}\widetilde{\mathbb{Z}}$ 之间存在同构。
• 消去定理蕴含了在乘法群 $\mathbb{G}_m$ 上的米尔诺-惠特尼 motivic 上同调中的悬垂同构，推广了维多维奇的结果。