[论文解读] A canonical Tannaka duality for finite seimisimple tensor categories

Takahiro Hayashi|ArXiv.org|Apr 15, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 17

一句话总结

本文通过构造一个其余模类别与原始类别等价的典范面代数，建立了有限半单张量范畴的典范Tannaka对偶性。利用关于嵌入到有限个域乘积代数 $ R $ 上的双模范畴的广义Tannaka-Krein对偶性，证明了每个分裂有限半单张量范畴均可通过一个典范纤维函子自然地实现为面代数。

ABSTRACT

For each finite semisimple tensor category, we associate a quantum group (face algebra) whose comodule category is equivalent to the original one, in a simple natural manner. To do this, we also give a generalization of the Tannaka-Krein duality, which assigns a face algebra for each tensor category equipped with an embedding into a certain kind of bimodule category.

研究动机与目标

• 将Tannaka-Krein对偶性推广至无法嵌入到 $ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $ 中的有限半单张量范畴。
• 为任意分裂有限半单张量范畴 $ \mathbb{C} $ 构造一个典范纤维函子 $ \Omega_0 $，其取值于 $ R $-双模范畴，其中 $ R $ 是基域 $ \mathbb{K} $ 的有限个副本的乘积。
• 通过广义Tannaka对偶性框架，建立此类张量范畴与 $ \mathcal{V} $-面代数之间的典范对应关系。
• 证明所得到的面代数 $ C(\Omega_0) $ 将原始范畴实现为其有限维余模类别，从而提供一个典范的量子群对偶。

提出的方法

• 定义 $ R = R_{\mathcal{V}} $ 为有限集 $ \mathcal{V} $ 在 $ \mathbb{K} $ 上的线性张成，配备乘法结构 $ \lambda\mu = \delta_{\lambda\mu}\lambda $，使其成为一个有限维半单代数。
• 引入代数 $ E = \overset{\circ}{R} \otimes R $，通过 $ \Delta(\overset{\circ}{\lambda}\mu) = \sum_{\nu \in \mathcal{V}} \overset{\circ}{\lambda}\nu \otimes \overset{\circ}{\nu}\mu $ 和 $ \varepsilon(\overset{\circ}{\lambda}\mu) = \delta_{\lambda\mu} $ 赋予其余代数结构。
• 将 $ \mathcal{V} $-面代数定义为在 $ E $ 上的类似双代数的对象，满足 $ \Delta(ab) = \Delta(a)\Delta(b) $ 与 $ \varepsilon(ab) = \sum_{\nu} \varepsilon(a\nu)\varepsilon(\overset{\circ}{\nu}b) $。
• 构造忠实、正合、张量的函子 $ \Omega: \mathbb{C} \to \mathbb{bmd}(R) $ 的余端 $ C(\Omega) $，其自然地成为一个 $ \mathcal{V} $-面代数，并具有典范的余模结构。
• 利用 $ \mathcal{V} $-Tannaka 对偶性，证明 $ \mathbb{C} \cong \mathbb{com}(C(\Omega)) $ 作为张量范畴，且该等价由 $ \Omega $ 导出。
• 定义典范纤维函子 $ \Omega_0(X)_{\lambda\mu} = \mathbb{C}(L_\mu, L_\lambda \otimes X) $，其中 $ \{L_\lambda\} $ 是一组完全的单对象，以构造普遍的对偶面代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为无法嵌入到 $ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $ 中的有限半单张量范畴建立典范的Tannaka对偶性？
• RQ2 Tannaka-Krein对偶性如何推广以适用于嵌入到有限个域乘积代数 $ R $ 上的双模范畴？
• RQ3 是否存在一个自然构造的面代数，其余模类别可恢复任意给定的分裂有限半单张量范畴？
• RQ4 所得到的面代数从张量范畴的张量结构与刚性结构中继承了何种代数结构？
• RQ5 典范纤维函子 $ \Omega_0 $ 如何将范畴的表示论数据编码为双模态射？

主要发现

• 对于任意分裂有限半单张量范畴 $ \mathbb{C} $，存在一个典范的忠实、正合、张量函子 $ \Omega_0: \mathbb{C} \to \mathbb{bmd}(R) $，其中 $ R = R_{\mathcal{V}} $，定义为 $ \Omega_0(X)_{\lambda\mu} = \mathbb{C}(L_\mu, L_\lambda \otimes X) $。
• 该函子的余端 $ C(\Omega_0) $ 是一个 $ \mathcal{V} $-面代数，且其有限维余模范畴 $ \mathbb{com}(C(\Omega_0)) $ 作为张量范畴与 $ \mathbb{C} $ 等价。
• 该构造产生了一个典范的量子群对偶，即一个面代数，将经典的Tannaka-Krein对偶性推广至无到 $ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $ 的纤维函子的范畴。
• 若 $ \mathbb{C} $ 是刚性的，则 $ C(\Omega_0) $ 具有双射反向算子，使其成为一个Hopf $ \mathcal{V} $-面代数。
• 在有限群 $ G $ 的 $ \mathbb{com}(\mathbb{C}[G]) $ 的例子中，典范对偶面代数的基为 $ \{e^a_b[g]\} $，满足 $ e^a_b[g]e^c_d[h] = \delta_{ag,c}\delta_{bg,d}e^a_b[gh] $，且余乘子为 $ \Delta(e^a_b[g]) = \sum_c e^a_c[g] \otimes e^c_b[g] $。
• 面幂等元为 $ \overset{\circ}{a} = \sum_b e^a_b[1] $，$ b = \sum_a e^a_b[1] $，反向算子为 $ S(e^a_b[g]) = e^{bg}_{ag}[g^{-1}] $，确认了其Hopf代数结构。