[论文解读] A case of combination of evidence in the Dempster-Shafer theory inconsistent with evaluation of probabilities

Andrzej K. Brodzik, Robert H. Enders|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Forecasting Techniques and Applications参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文表明，当证据之间存在非零冲突时，即使假设质量分配代表概率，Dempster-Shafer（DS）组合规则仍可能产生与标准概率评估不一致的质量分配。关键发现是，DS组合可能导致违反基本概率一致性的情况，从而挑战了在一般情况下将DS质量解释为概率的合理性。

ABSTRACT

The Dempster-Shafer theory of evidence accumulation is one of the main tools for combining data obtained from multiple sources. In this paper a special case of combination of two bodies of evidence with non-zero conflict coefficient is considered. It is shown that application of the Dempster-Shafer rule of combination in this case leads to an evaluation of masses of the combined bodies that is different from the evaluation of the corresponding probabilities obtained by application of the law of total probability. This finding supports the view that probabilistic interpretation of results of the Dempster-Shafer analysis in the general case is not appropriate.

研究动机与目标

• 研究Dempster-Shafer（DS）理论与概率理论在证据组合中的一致性。
• 识别DS组合产生与标准概率评估相矛盾结果的情况，特别是当证据之间存在非零冲突时。
• 挑战将DS质量分配可信赖地解释为概率的常见假设。
• 证明DS结果的概率解释并非总是有效，尤其是在冲突系数非零的情况下。

提出的方法

• 作者通过在焦实集的子集上定义质量分配来定义证据体，施加可加性约束以允许概率解释。
• 他们应用标准DS组合规则对两个具有非零冲突系数的证据体进行组合，使用公式 $ m_C(S) = \frac{\sum_{A_i \cap B_j = S} m_A(A_i)m_B(B_j)}{1 - \kappa} $，其中 $ \kappa $ 为冲突系数。
• 该方法将DS质量分配与根据全概率定律推导出的概率进行比较，特别评估了单元素假设和复合假设。
• 分析包括具体数值示例，如 $ m_A = \{x, \bar{x}, 1-x-\bar{x}\} $ 和 $ m_B = \{y, 1-y\} $，并通过方程 (40)–(45) 和 (52)–(55) 评估一致性。
• 作者推导出DS质量等于概率的条件，表明仅当 $ x=0 $、$ y=0 $ 或 $ y=1 $ 时才成立，即当冲突 $ \kappa = 0 $ 时。
• 他们通过比较DS推导出的质量值与概率估计来测试一致性，发现在关键情况下（如 $ x=1/4, \bar{x}=1/2, y=1/2 $ 的例子）存在不重叠的区间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Dempster-Shafer组合规则会产生与概率理论一致的结果？
• RQ2 当证据之间存在非零冲突时，DS框架中的质量分配能否被可靠地解释为概率？
• RQ3 为何即使质量被假设代表概率，DS组合结果仍会与概率评估产生偏差？
• RQ4 不等式 $ m_C(S) \leq P(S) $（在概率一致性下应成立）是否在证据组合的非平凡情况下被违反？

主要发现

• DS组合规则可能产生与概率评估不一致的质量分配，即使质量被假设代表概率。
• 在 $ m_A = \{x, \bar{x}, 1-x-\bar{x}\} $、$ m_B = \{y, 1-y\} $ 且非零冲突 $ \kappa = x(1-y) $ 的情况下，DS质量与概率仅在 $ x=0 $、$ y=0 $ 或 $ y=1 $ 时一致，即当 $ \kappa = 0 $ 时。
• 对于 $ x=1/4 $、$ \bar{x}=1/2 $、$ y=1/2 $，DS评估给出 $ \frac{2}{7} \leq P(b) \leq \frac{3}{7} $，而概率评估给出 $ 0 \leq P(b) \leq \frac{1}{4} $，两区间无重叠。
• 通过信度和似然的重归一化无法解决该不一致，事实上此类操作会使问题更加严重。
• 该结果表明，DS组合规则在非零冲突的非平凡情况下违反了概率一致性条件 $ m_C(S) \leq P(S) $。
• 这削弱了将DS质量分配普遍解释为概率的正当性，支持DS理论与概率理论是具有不同目标的独立框架的观点。