[论文解读] A catalogue of small regular matroids and their Tutte polynomials

Harald Fripertinger, Marcel Wild|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文呈现了所有非同构的简单连通正则拟阵（大小 $ n \leq 15 $）的完整目录，通过二元矩阵表示的同构约化生成，并利用与Fano拟阵或其对偶同构的子式作为筛选标准。所有此类拟阵的Tutte多项式均通过基于内部与外部基活动性的新型算法计算得出，形成一个完整、公开可访问的资源，数据文件与Mathematica兼容。

ABSTRACT

A catalogue of all non-isomorphic simple connected regular matroids ${\cal M}$ of cardinality $n \leq 15$ is provided on the net. These matroids are given as binary matrix matroids and are sieved from the large pool of all non-isomorphic binary matrix matroids of cardinality $\leq 15$. For each ${\cal M}$ its Tutte polynomial is determined by an algorithm based on internal and external base activity.

研究动机与目标

• 生成所有非同构的简单连通正则拟阵（大小 $ n \leq 15 $）的完整、无冗余列表。
• 使用基于内部与外部基活动性的高效算法，计算每个此类拟阵的Tutte多项式。
• 为拟阵理论与组合数学的研究提供一个公开可访问、标准化的拟阵及其不变量数据库。
• 通过利用对偶性，将分类扩展至秩 $ k \geq 8 $ 的拟阵，因为正则性在对偶下保持不变。
• 通过使用字典序最小代表元作为标准形式，实现拟阵同构性的快速识别。

提出的方法

• 通过考虑 $ GF(2)^k $ 中向量的多重集，生成所有非同构的大小 $ n \leq 15 $、秩 $ k \leq 7 $ 的二元拟阵，作用于 $ GL_k(2) \times S_n $ 的群作用下。
• 使用同构判别准则：两个二元拟阵同构当且仅当一个矩阵表示可通过 $ GL_k(2) $ 中的行变换与 $ S_n $ 中的列置换转换为另一个。
• 应用定理1：一个二元拟阵是正则的，当且仅当其任意秩为 $ k-3 $ 或 $ k-4 $ 的平坦子式不与 $ F_7 $ 或 $ F_7^d $ 同构。
• 对每个候选拟阵，测试所有此类平坦子式，以筛选出非正则拟阵。
• 使用基于内部与外部基活动性的新型算法计算Tutte多项式，该算法系统性地枚举基与余基以评估多项式。
• 利用对偶性将列表扩展至秩 $ k \geq 8 $ 的拟阵，因为正则拟阵的对偶仍是正则拟阵，且同构拟阵的对偶也同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 大小 $ n \leq 15 $ 的所有非同构简单连通正则拟阵的完整集合是什么？
• RQ2 如何基于基活动性高效计算正则拟阵的Tutte多项式？
• RQ3 在 $ n = 15 $ 以内，正则拟阵在大小与秩上的分布情况如何？
• RQ4 一个二元拟阵的同构类是否能通过其字典序最小矩阵代表元唯一确定？
• RQ5 如何通过禁止子式算法验证二元拟阵的正则性？

主要发现

• 作者编制了1,035个非同构的简单连通正则拟阵（大小 $ n \leq 15 $）的完整列表，所有拟阵均以标准字典序最小矩阵代表元表示。
• 使用基于活动性的算法，成功计算了全部1,035个正则拟阵的Tutte多项式，结果以Mathematica笔记本格式提供。
• 通过禁止子式 $ F_7 $ 与 $ F_7^d $ 的筛选方法在大小 $ \leq 15 $ 的二元拟阵中有效识别出正则拟阵。
• 利用对偶性将列表扩展至秩 $ k \geq 8 $ 的拟阵，确保在 $ n \leq 15 $ 范围内所有秩的完整性。
• 该目录包含8个元素的秩5多边形拟阵的28个基，证明了该方法在处理非平凡拟阵结构方面的能力。
• 整个数据集（包括拟阵代表元及其Tutte多项式）可公开获取，网址为 http://www.uni-graz.at/~fripert/html/matroids/matroide_neu.html。