[论文解读] A Categorical Programming Language

Tatsuya Hagino|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2020

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 23被引用 101

一句话总结

这篇论文提出了一个使用 F,G-对偶代数的范畴论数据类型框架（范畴数据类型，CDT），引入一个范畴化规范语言（CSL），定义数据类型并提出一个范畴编程语言（CPL），并通过泰特方法证明计算的终止性。

ABSTRACT

A theory of data types based on category theory is presented. We organize data types under a new categorical notion of F,G-dialgebras which is an extension of the notion of adjunctions as well as that of T-algebras. T-algebras are also used in domain theory, but while domain theory needs some primitive data types, like products, to start with, we do not need any. Products, coproducts and exponentiations (i.e. function spaces) are defined exactly like in category theory using adjunctions. F,G-dialgebras also enable us to define the natural number object, the object for finite lists and other familiar data types in programming. Furthermore, their symmetry allows us to have the dual of the natural number object and the object for infinite lists (or lazy lists). We also introduce a programming language in a categorical style using F,G-dialgebras as its data type declaration mechanism. We define the meaning of the language operationally and prove that any program terminates using Tait's computability method.

研究动机与目标

• 提出一个统一的、基于范畴论的数据类型组织，以 F,G-对偶代数作为基础概念。
• 开发一个范畴化规范语言（CSL），用于描述范畴、函子、自然变换和因子化器。
• 定义带有伴随关系声明的范畴数据类型（CDT），并展示标准数据类型如何在范畴中产生。
• 介绍并形式化一个没有原始数据类型或控制结构的范畴编程语言（CPL），其中数据类型和控制在范畴中定义。
• 使用泰特的可计算性方法为CPL中的计算提供语义和终止性证明。

提出的方法

• 将 CDT 数据类型定义为扩展通用代数和领域理论思想的 F,G-对偶代数。
• 提出一个 CSL（范畴规范语言），将代数规范扩展到范畴、函子、自然变换和因子化器。
• 演示 CDT 中的积、余积、指数和自然数对象如何从伴随关系中产生。
• 描述一个具有归约规则和语义的 CPL，其数据类型和控制结构通过 F,G-对偶代数声明并验证终止性。
• 提供一个用于范畴的规范语言，以通过 F,G-代数和正式 CSL 语义对 CDT 进行语义绑定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用范畴理论，特别是通过 F,G-对偶代数，系统地组织数据类型？
• RQ2 能否对范畴、函子、自然变换和因子化器进行规范化和处理，以定义如自然数、列表和无限列表等常见数据类型？
• RQ3 如何在没有原始数据类型或控制结构的情况下，孤立依赖范畴声明来构建一个范畴性的编程语言？
• RQ4 这种范畴编程语言中计算的形式语义和终止性质是什么？
• RQ5 CSL 如何支持 CDT 的形式语义，CDT 如何与传统的代数规范和领域理论方法相关？

主要发现

• 范畴数据类型（CDT）可以通过 F,G-对偶代数和基于伴随的构造定义传统数据类型（例如自然数、列表、无限列表）。
• 乘积、余积、指数和自然数对象从范畴定义中自然涌现，使用伴随关系实现对数据类型的统一处理。
• 一个对称框架同时允许初始代数和最终煤代数构造，使 CDT 内的有限和无限数据结构成为可能。
• 提出一个 CPL，其中程序是带有归约规则的态射，且终止性通过泰特的可计算性方法证明。
• 引入一个 CSL，用于描述具有函子、自然变换和因子化器的范畴，为 CDT 提供形式语义基础。