[论文解读] A categorification of the stable SU(2) Witten-Reshetikhin-Turaev invariant of links in S2 x S1

Lev Rozansky|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 15

一句话总结

本文通过将一个链 $L$ 关联到一个双分次同调理论，实现了对 $S^2 \times S^1$ 中链的稳定 SU(2) Witten-Reshetikhin-Turaev (WRT) 不变量的范畴化，该同调理论的分次欧拉示性数恢复了多项式不变量 $J(L, S^2 \times S^1)$。该同调理论被定义为与一个闭合后得到 $L$ 的纽结相关的 $H_n$-双模的 Hochschild 同调，并作为高扭数的环面辫子的 Khovanov 同调的稳定极限而出现，从而在该设定下实现了对稳定 WRT 不变量的完整范畴化。

ABSTRACT

The WRT invariant of a link L in S2xS1 at sufficiently high values of the level r can be expresses as an evaluation of a special polynomial invariant of L at 2r-th root of unity. We categorify this polynomial invariant by associating to L a bigraded homology whose graded Euler characteristic is equal to this polynomial. If L is presented as a closure of a tangle in S2xS1, then the homology of L is defined as the Hochschild homology of the H_n-bimodule associated to the tangle by M. Khovanov. This homology can also be expressed as a stable limit of Khovanov homology of the circular closure of the tangle in S3 through the torus braid with high twist.

研究动机与目标

• 构建 $S^2 \times S^1$ 中链的稳定 SU(2) WRT 不变量的范畴化，该不变量在高阶时已知为洛朗多项式。
• 定义一个双分次同调理论，其分次欧拉示性数恢复多项式不变量 $J(L, S^2 \times S^1)$。
• 将此同调实现为与一个闭合后生成链 $L$ 的纽结相关的 $H_n$-双模的 Hochschild 同调。
• 证明此同调作为高扭数的环面辫子的 Khovanov 同调的稳定极限而出现，从而将范畴化与已知的同调理论联系起来。

提出的方法

• 多项式不变量 $J(L, S^2 \times S^1)$ 定义为在 $q = \exp(\pi i / r)$ 处计算的修正 WRT 不变量 $\tilde{Z}_r(L, S^3_1)$ 的稳定极限，其中 $r \geq r_{\text{cr}}(L, S^3_1)$。
• 对于一个纽结 $\tau$（位于 $S^3_{|2g}$ 中），其闭合后生成 $L$，链 $L$ 的同调被定义为通过 [Kho00] 构造的与 $\tau$ 相关的 $H_n$-双模的 Hochschild 同调。
• 该范畴化通过在 $S^3$ 中对 $\tau$ 的环状闭合取高扭数的环面辫子的 Khovanov 同调的稳定极限实现。
• 该构造依赖于环面辫子的通用范畴化复形及其在 Temperley-Lieb 代数的 $q$-变形下的行为。
• 证明使用了 Jones-Wenzl 投影算子及其在 Temperley-Lieb 代数中的闭合性质，以将 WRT 不变量与多项式求值联系起来。
• 关键的技术工具是通过在经线上进行手术，将 $S^2 \times S^1$ 中纽结的闭合识别出来，并应用 Reshetikhin-Turaev 手术公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $S^2 \times S^1$ 中链的稳定 SU(2) WRT 不变量范畴化为一个双分次同调理论？
• RQ2 如何将 $S^2 \times S^1$ 中链的同调与一个纽结相关的 $H_n$-双模的 Hochschild 同调联系起来？
• RQ3 在 $S^2 \times S^1$ 中，稳定 WRT 不变量的范畴化是否等价于高扭数的环面辫子的 Khovanov 同调的稳定极限？
• RQ4 Jones-Wenzl 投影算子与 $S^2 \times S^1$ 中 WRT 不变量的求值之间的确切关系是什么？
• RQ5 在 $S^2 \times S^1$ 中，WRT 不变量的稳定极限是否产生一个洛朗多项式，且该多项式在分次欧拉示性数的意义下可被范畴化？

主要发现

• 稳定 WRT 不变量 $J(L, S^2 \times S^1)$ 是一个洛朗多项式，且是唯一的有理函数，使得对所有 $r \geq r_{\text{cr}}(L, S^2 \times S^1)$，有 $\tilde{Z}_r(L, S^2 \times S^1) = J(L, S^2 \times S^1)|_{q=\exp(\pi i / r)}$。
• 链 $L$ 在 $S^2 \times S^1$ 中的同调被定义为与一个纽结 $\tau$ 相关的 $H_n$-双模的 Hochschild 同调，其闭合后生成 $L$，该同调为双分次，且其分次欧拉示性数等于 $J(L, S^2 \times S^1)$。
• 该范畴化作为 $S^3$ 中 $\tau$ 的环状闭合的高扭数环面辫子的 Khovanov 同调的稳定极限而出现，证实了该不变量的稳定性。
• 通过在经线上进行手术，计算了 $S^2 \times S^1$ 中纽结的闭合，且 WRT 不变量通过包含 Temperley-Lieb 代数上由纽结诱导的自同态的迹的 Reshetikhin-Turaev 公式表达。
• 高扭数的环面辫子的极限在 $q$-进拓扑下收敛于 Jones-Wenzl 投影算子 $P_{2n,0}$，如洛朗级数展开中系数的稳定性所示。
• 尽管投影算子涉及有理函数，但使用 Jones-Wenzl 投影算子的闭合求值仍产生一个 $q$ 的多项式，这是由于迹公式中的抵消作用。