[论文解读] A categorification of the Temperley-Lieb algebra and Schur quotients of U(sl(2)) via projective and Zuckerman functors

Joseph Bernstein, Igor Frenkel+1 more|ArXiv.org|Feb 11, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 38

一句话总结

本文通过在 $\mathfrak{gl}_n$ 的范畴 $\mathcal{O}$ 的奇异块与抛物块上使用投影函子和 Zuckerman 函子，对量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ 与 Temperley-Lieb 代数进行了范畴化。该研究在导出范畴上通过函子实现了 $\mathfrak{sl}_2$ 作用及其交换子，其 Grothendieck 群同构于 $V_1^{\otimes n}$，并通过函子同构与余乘法公式建立了范畴化的 Schur-Weyl 对偶性。

ABSTRACT

We identify the Grothendieck group of certain direct sum of singular blocks of the highest weight category for sl(n) with the n-th tensor power of the fundamental (two-dimensional) sl(2)-module. The action of U(sl(2)) is given by projective functors and the commuting action of the Temperley-Lieb algebra by Zuckerman functors. Indecomposable projective functors correspond to Lusztig canonical basis in U(sl(2)). In the dual realization the n-th tensor power of the fundamental representation is identified with a direct sum of parabolic blocks of the highest weight category. Translation across the wall functors act as generators of the Temperley-Lieb algebra while Zuckerman functors act as generators of U(sl(2)).

研究动机与目标

• 通过 $\mathfrak{gl}_n$ 的范畴 $\mathcal{O}$ 中的函子，构造 $U(\mathfrak{sl}_2)$ 作用在 $n$ 重张量积 $V_1^{\otimes n}$ 上的范畴化。
• 通过 $\mathcal{O}$ 的奇异块中的投影函子，实现 Temperley-Lieb 代数在 $V_1^{\otimes n}$ 上的作用。
• 通过抛物范畴之间的归纳函子，将范畴化扩展至 $U(\mathfrak{sl}_2)$ 的余乘法。
• 通过证明 Zuckerman 函子与投影函子可交换并范畴化 $\mathfrak{sl}_2$ 作用，建立范畴化的 Schur-Weyl 对偶性。
• 通过 $\mathcal{O}_n$ 中的不可约投影函子，提供 $\dot{U}(\mathfrak{sl}_2)$ 的典范基的函子实现。

提出的方法

• 通过 $\mathfrak{gl}_n$ 的基本表示的张量积诱导的投影函子 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ 实现 $U(\mathfrak{sl}_2)$ 的生成元 $E$ 和 $F$。
• 将 Zuckerman 函子用作抛物子代数 $\mathfrak{p}_k \subset \mathfrak{gl}_n$ 的最大局部有限子模的导出函子。
• 在导出范畴 $D^b(\mathcal{O}^{k,n-k})$ 上构造函子，通过嵌入函子与伴随函子的复合，范畴化 $E^{(l)}$ 与 $F^{(l)}$ 的作用。
• 利用来自最大抛物子代数的归纳函子的短正合序列，范畴化余乘法公式 $\Delta E = E \otimes 1 + 1 \otimes E$。
• 在 $D^b(\mathcal{O}^n)$ 上定义函子 $\cap_{i,n}$、$\cup_{i,n}$ 和 $R_{i,n}$，以建模 Temperley-Lieb 代数中的扭结运算。
• 在导出范畴中，建立等价扭结表示对应的函子复合之间的同构关系，允许存在移位。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $\mathfrak{gl}_n$ 的范畴 $\mathcal{O}$ 中的函子对 $V_1^{\otimes n}$ 上的 $\mathfrak{sl}_2$ 作用进行范畴化？
• RQ2 是否可以通过 $\mathcal{O}_n$ 的奇异块中的投影函子实现 Temperley-Lieb 代数在 $V_1^{\otimes n}$ 上的作用？
• RQ3 抛物子范畴之间的 Zuckerman 函子如何对 $V_1^{\otimes n}$ 上的 $\mathfrak{sl}_2$ 作用进行范畴化？
• RQ4 是否可以通过导出范畴中的短正合序列对余乘法公式 $\Delta E = E \otimes 1 + 1 \otimes E$ 和 $\Delta F = F \otimes 1 + 1 \otimes F$ 进行范畴化？
• RQ5 Temperley-Lieb 代数中扭结表示对应的函子在 $D^b(\mathcal{O}^n)$ 中是否同构（至多相差移位）？

主要发现

• 范畴 $\mathcal{O}_n = \oplus_{k=0}^n \mathcal{O}_{k,n-k}$ 的 Grothendieck 群同构于 $V_1^{\otimes n}$，其中 $\mathfrak{sl}_2$ 作用通过投影函子 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ 实现。
• $\mathcal{O}_n$ 中的不可约投影函子与 $\dot{U}(\mathfrak{sl}_2)$ 的 Lusztig 典范基的元素之间存在双射。
• 余乘法 $\Delta E = E \otimes 1 + 1 \otimes E$ 通过涉及 $\mathfrak{gl}_{n+m}$ 的最大抛物子代数（包含 $\mathfrak{gl}_n \oplus \mathfrak{gl}_m$）的归纳函子的短正合序列被范畴化。
• 从抛物子范畴 $\mathcal{O}^{k,n-k}$ 到 $\mathcal{O}^{k+l,n-k-l}$ 的 Zuckerman 函子在 $\mathcal{O}^n$ 的 Grothendieck 群上下降为 $E^{(l)}$ 与 $F^{(l)}$ 的作用。
• 与初等扭结对应的函子 $\cap_{i,n}$、$\cup_{i,n}$ 和 $R_{i,n}$ 在 $D^b(\mathcal{O}^n)$ 中范畴化了 Temperley-Lieb 代数的关系。
• 猜想 4 提出，不同的扭结表示会产生在 $D^b(\mathcal{O}^n)$ 中同构的函子（至多相差移位），支持了 2-范畴结构的存在。