[论文解读] A category of noncrossing partitions

Kiyoshi Igusa|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文为类型 $A_n$ 的非交叉划分范畴提供了一个初等的组合构造，其中对象为经典非交叉划分，态射为二叉森林。通过证明每个顶点的链接是旗复形，本文证明该范畴的分类空间是局部 $CAT(0)$，因此是 $K(\pi,1)$，并确立该范畴的基本群同构于类型 $A_n$ 的图片群（Stasheff 群）。这为该群的上同调提供了通过立方复形实现的直接拓扑实现。

ABSTRACT

In [17], we introduced ``picture groups'' and computed the cohomology of the picture group of type $A_n$. This is the same group what was introduced by Loday [20] where he called it the ``Stasheff group''. In this paper, we give an elementary combinatorial interpretation of the {\color{blue}``cluster morphism category'' constructed in [13] in the special case of the linearly oriented quiver of type $A_n$.} We prove that the classifying space of this category is locally $CAT(0)$ and thus a $K(π,1)$. We prove a more general statement that classifying spaces of certain ``cubical categories'' are locally $CAT(0)$. The objects of our category are the classical noncrossing partitions introduced by Kreweras [19]. The morphisms are binary forests. This paper is independent of [13] and [17] except in the last section where we use [13] to compare our category with the category with the same name given by Hubery and Krause [9].

研究动机与目标

• 为类型 $A_n$ 的非交叉划分范畴提供一个自包含且初等的组合描述。
• 证明该范畴的分类空间是局部 $CAT(0)$，从而说明其为 $K(\pi,1)$。
• 确立该范畴的基本群同构于类型 $A_n$ 的图片群（Stasheff 群）。
• 将此构造与 Hubery 和 Krause 定义的非交叉划分范畴进行比较，揭示一种复杂但有结构的关系。

提出的方法

• 对象被定义为 $n$ 个全序元素集合的经典非交叉划分。
• 态射通过相对于目标划分的‘平行集’上的二叉森林构造，编码兼容的合并序列。
• 通过验证对象的反向链接是旗复形，证明该范畴是立方的。
• 通过 Gromov 准则分析分类空间：若一个单连通立方空间的所有顶点链接均为旗复形，则其为 $CAT(0)$。
• 利用来自立方结构的生成元与关系计算基本群。
• 通过基于 $K_0$ 的嵌入与自同构作用，将该构造与簇态射范畴及 Hubery 和 Krause 的范畴进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为类型 $A_n$ 的非交叉划分范畴提供一个纯粹组合且初等的构造？
• RQ2 为何该范畴的分类空间是局部 $CAT(0)$，其拓扑意义为何？
• RQ3 该范畴的基本群与类型 $A_n$ 的图片群（Stasheff 群）之间有何关系？
• RQ4 本文中非交叉划分范畴与 Hubery 和 Krause 定义的范畴之间的确切关系为何？
• RQ5 该范畴的分类空间能否被实现为 Stasheff 关联多面体的并集，其与上同调计算有何关联？

主要发现

• 范畴 $\mathcal{N}\mathcal{P}(n)$ 的分类空间是局部 $CAT(0)$，因此是同伦等价于点的，因为每个顶点的链接都是旗复形。
• 范畴 $\mathcal{N}\mathcal{P}(n)$ 的基本群同构于图片群 $G(A_n)$，即著名的 Stasheff 群，当 $n=3$ 时其表示为 $\langle x_1, x_2, x_3 \mid x_2 = [x_1, x_3] \rangle$。
• $\mathcal{N}\mathcal{P}(n)$ 全满地嵌入到余范畴 $K_0 \downarrow K_0(KA_2)$ 中，后者在同构意义下有 13 个对象。
• 在 $K_0 \downarrow K_0(KA_2)$ 的 42 个秩一态射中，恰好有 11 个属于 $\mathcal{N}\mathcal{P}(3)$ 的像，对应于五个非交叉划分及其态射。
• $\mathcal{N}\mathcal{P}(3)$ 的基本群是秩为 2 的自由群，而 $K_0 \downarrow K_0(KA_2)$ 的基本群是具有 6 个生成元且关系为 $x_i = [x_{i-1}, x_{i+1}]$ 的群。
• $\mathcal{N}\mathcal{P}(3)$ 到 $K_0 \downarrow K_0(KA_2)$ 的嵌入将生成元 $x_1,x_2,x_3$ 映射为大群的前三个生成元。