[论文解读] A cell-centered implicit-explicit Lagrangian scheme for a unified model of nonlinear continuum mechanics on unstructured meshes

Boscheri W., Chiocchetti S.+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 113被引用 21

一句话总结

本论文提出了一种针对非线性连续介质力学统一模型——戈杜诺夫-佩什科夫-罗曼斯基（GPR）模型——的基于非结构化网格的单元中心隐式-显式（IMEX）拉格朗日有限体积格式。该格式在空间和时间上均达到二阶精度，满足几何守恒律（GCL），且具有渐近保持性，能够高鲁棒性地准确捕捉流体、固体及过渡态材料行为，包括粘性、导热、弹性及弹塑性响应，在二维和三维测试案例中表现出优异的能量守恒性能。

ABSTRACT

A cell-centered implicit-explicit updated Lagrangian finite volume scheme on unstructured grids is proposed for a unified first-order hyperbolic formulation of continuum fluid and solid mechanics, namely the Godunov-Peshkov-Romenski (GPR) model. The scheme provably respects the stiff relaxation limits of the continuous model at the fully discrete level, thus it is asymptotic preserving. Furthermore, the GCL is satisfied by a compatible discretization that makes use of a nodal solver to compute vertex-based fluxes that are used both for the motion of the computational mesh as well as for the time evolution of the governing PDEs. Second order of accuracy in space is achieved using a TVD piecewise linear reconstruction, while an implicit-explicit (IMEX) Runge-Kutta time discretization allows the scheme to obtain higher accuracy also in time. Particular care is devoted to the design of a stiff ODE solver, based on approximate analytical solutions of the governing equations, that plays a crucial role when the visco-plastic limit of the model is approached. We demonstrate the accuracy and robustness of the scheme on a wide spectrum of material responses covered by the unified continuum model that includes inviscid hydrodynamics, viscous heat conducting fluids, elastic and elasto-plastic solids in multidimensional settings.

研究动机与目标

• 开发一种在非结构化网格上针对连续介质力学统一双曲型GPR模型的鲁棒、二阶精度拉格朗日有限体积格式。
• 通过准确捕捉GPR模型的刚性松弛极限（包括纳维-斯托克斯-傅里叶极限与弹性极限），确保格式具有渐近保持性。
• 通过节点求解器计算基于顶点的通量，实现对网格运动与PDE演化的几何守恒律（GCL）保持。
• 在单一统一框架内，实现对理想流体、粘性流体、弹性固体及弹塑性材料等多种材料响应的精确模拟。
• 通过采用半解析ODE求解器隐式处理松弛源项，实现在刚性区域的稳定性与精度。

提出的方法

• 采用单元中心有限体积框架，守恒变量（质量、动量、能量）存储于单元中心，数值通量通过节点黎曼求解器计算。
• 网格运动由相邻单元间一维黎曼问题求解得到的节点速度控制，通过离散高斯定理确保满足GCL。
• 通过守恒变量的TVD分段线性重构实现二阶空间精度。
• 采用隐式-显式（IMEX）龙格-库塔时间格式，将刚性松弛项隐式处理，通量项显式处理。
• 开发了一种定制的半解析ODE求解器，用于处理GPR模型中的刚性松弛项，尤其在接近纳维-斯托克斯-傅里叶极限与超弹性极限时表现优异。
• 该格式应用于简化的GPR模型，仅演化形变张量（度量张量）的对称部分，当旋转自由度可忽略时可显著简化系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种单元中心拉格朗日有限体积格式，使其在非结构化网格上保持GCL并具备GPR统一模型的渐近保持性？
• RQ2 在具有刚性松弛源项的双曲型PDE系统中，如何在拉格朗日框架下实现空间与时间的二阶精度？
• RQ3 同一数值格式能否在单一统一模型中准确模拟从理想流体到弹塑性固体的全谱材料响应？
• RQ4 半解析ODE求解器在刚性松弛极限下对格式稳定性的作用是什么？其如何确保与纳维-斯托克斯-傅里叶方程的一致性？
• RQ5 在涉及大变形与材料相变的复杂多维测试案例中，该格式在能量守恒与鲁棒性方面表现如何？

主要发现

• LGPR格式在空间与时间上均达到二阶精度，经由制造解与精确黎曼问题的收敛性研究验证。
• 该格式具有渐近保持性：在任意小的松弛时间下，能正确捕捉纳维-斯托克斯-傅里叶极限，数值解收敛至预期的粘性、导热流体行为。
• 格式将总能量守恒至机器精度，如在ω₀ = 100与ω₀ = 200的扭转柱测试中，能量随时间保持高度守恒。
• 方法在科瓦尔斯基测试中准确模拟了从弹性到弹塑性行为的过渡，数值结果与解析解在塑性波速与应力演化方面高度吻合。
• 该格式成功模拟了复杂的三维现象（如扭转柱），即使在强压缩与旋转条件下，也未出现虚假振荡或非物理解压分布。
• 在极限情况下，该格式退化为已知方法：在理想流体极限下恢复[83]中的流体动力学格式，在弹性极限下恢复[27]中的超弹性格式。