[论文解读] A cellular algebra with certain idempotent decomposition

Kentaro Wada|ArXiv.org|May 8, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过将单位元分解为与细胞基相容的正交幂等元，提出了一种细胞代数的广义框架，从而实现了李型与抛物型子代数的构造。它建立了原代数与商代数之间分解数的同构关系，并通过细化的块分解对块进行分类，将关于余循环q-舒尔代数的先前结果推广至一般细胞代数。

ABSTRACT

For a cellular algebra $\A$ with a cellular basis $\ZC$, we consider a decomposition of the unit element $1_\A$ into orthogonal idempotents (not necessary primitive) satisfying some conditions. By using this decomposition, the cellular basis $\ZC$ can be partitioned into some pieces with good properties. Then by using a certain map $\a$, we give a coarse partition of $\ZC$ whose refinement is the original partition. We construct a Levi type subalgebra $\aA$ of $\A$ and its quotient algebra $\oA$, and also construct a parabolic type subalgebra $ A$ of $\A$, which contains $\aA$ with respect to the map $\a$. Then, we study the relation of standard modules, simple modules and decomposition numbers among these algebras. Finally, we study the relationship of blocks among these algebras.

研究动机与目标

• 将余循环q-舒尔代数中分解数的乘积公式推广至具有相容幂等元分解的任意细胞代数。
• 通过映射α从给定的细胞代数构造李型子代数与抛物型子代数。
• 建立原代数及其子商代数之间标准模、简单模与分解数的关系。
• 通过映射α诱导的块分解，对原代数及其子代数的块进行分类。
• 通过引入非细胞的抛物型子代数，扩展细胞代数的表示理论框架。

提出的方法

• 将细胞代数的单位元分解为满足与细胞基相容条件的正交幂等元。
• 利用映射α诱导细胞基的粗划分，从而细化来自幂等元分解的原始划分。
• 从细胞基与映射α出发，构造李型子代数𝔸^α与包含𝔸^α的抛物型子代数~𝔸^α。
• 将~𝔸^α的商代数𝔸̅^α定义为商代数，其继承了类似于余循环q-舒尔代数中商代数的简化结构。
• 建立𝔸与𝔸̅^α之间分解数的同构关系，表明原代数的某些分解数与商代数的分解数一致。
• 通过映射α诱导的块分解及偏序集Λ⁺上的等价关系∼，对𝔸、~𝔸^α、𝔸^α与𝔸̅^α的块进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过幂等元分解与映射α构造的简化商代数，关联一般细胞代数的分解数？
• RQ2 原细胞代数、其李型子代数、抛物型子代数与商代数之间的结构关系是什么？
• RQ3 能否通过映射α，从子代数与商代数的块结构中恢复原代数的块结构？
• RQ4 商代数𝔸̅^α是否继承了细胞结构，从而允许以原代数块为基础进行块分解？
• RQ5 在何种条件下，映射α能诱导原代数层级中标准模与简单模的相容分解？

主要发现

• 在原代数𝔸中，标准模W^λ的分解数与商代数𝔸̅^α中对应分解数在某些λ与μ下一致。
• 商代数𝔸̅^α同构于较小细胞代数的张量积的直和，推广了余循环q-舒尔代数中观察到的结构。
• 𝔸̅^α的块分解为⨁_{Γ∈Λ⁺/~} ⨁_{η∈X⁺} 𝔹̅^α_{Γ_η}，其中Γ_η为满足α(λ) = η的λ ∈ Γ的集合。
• 𝔸̅^α的块𝔹̅^α_Γ关于η ∈ X⁺的直和分解，表明由映射α诱导出的细化块结构。
• 抛物型子代数~𝔸^α虽非细胞代数，但具有标准基，其块结构通过映射α与𝔸的块结构相联系。
• 李型子代数𝔸^α与商代数𝔸̅^α均为细胞代数，且其模范畴通过诱导映射α与原代数的模范畴相关联。