[论文解读] A census of all genus 4 curves over the field with 2 elements

Xavier Xarles|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文对有限域 $\mathbb{F}_2$ 上所有同构类的亏格 4 曲线进行了完整普查，通过多项式上的群作用与代数几何技术，分别计算了双椭圆型与三线型情形。主要贡献在于显式枚举出 $\mathbb{F}_2$ 上亏格 4 曲线的 16 个同构类，包含详细的方程与不变量（如点计数和 Weil 多项式），其中若干曲线在扩张域上实现了最大点数。

ABSTRACT

We explain how we computed equations for all genus 4 curves defined of the field with 2 elements, up-to-isomorphism, and some of the data we obtained. We give descriptions also of nice models for genus 4 curves over characteristic 2 fields, in both the hyperelliptic case and the trigonal case.

研究动机与目标

• 计算 $\mathbb{F}_2$ 上所有亏格 4 曲线的同构类。
• 利用代数与几何不变量对 $\mathbb{F}_2$ 上的双椭圆型与三线型曲线进行分类。
• 为每个同构类提供显式方程与不变量（例如 Weil 多项式、点计数）。
• 识别在 $\mathbb{F}_{2^k}$（$k=1,\dots,5$）上实现最大有理点数的曲线，并确定其性质。

提出的方法

• 使用双椭圆型曲线的标准模型：$y^2 + q(x)y = p(x)$，其中 $q(x)$ 为首一多项式且满足次数约束。
• 应用 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{F}_2)$-作用于多项式，定义为 $\psi_n(A)(q) = (cx+d)^n q\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)$，以分类同构类。
• 通过 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{F}_2)$ 在次数为 5 的多项式上的轨道分解，计算 $\overline{\mathbb{F}_2[x]_5}$ 的代表元。
• 将三线型曲线表示为 $\mathbb{P}^3$ 中二次曲面与三次曲面的完全交集，利用几何不变量进行分类。
• 利用 Weil 多项式与 $\mathbb{F}_{2^k}$ 上的点计数，以区分同源类并检测最大曲线。
• 通过分析双椭圆型模型中 $p(x)$ 与 $q(x)$ 的次数与系数，验证非同构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_2$ 上，亏格 4 曲线的同构类共有多少个？其定义方程是什么？
• RQ2 哪些亏格 4 曲线在 $\mathbb{F}_{2^k}$（$k=1,\dots,5$）上实现了最大有理点数？
• RQ3 具有同源雅加比簇的曲线是否可能具有不同的定义方程？若有，此类曲线共有多少？
• RQ4 对于实现最大点数的曲线，其雅加比簇的 2-挠子群结构如何？
• RQ5 是否存在多个非同构但具有相同 Weil 多项式的曲线？若存在，它们在几何上如何关联？

主要发现

• 在 $\mathbb{F}_2$ 上，亏格 4 曲线恰好有 16 个同构类，其中 4 个为双椭圆型，12 个为三线型。
• 四个双椭圆型曲线具有相同的 Weil 多项式，因此其雅加比簇同源，其方程仅在 $p(x)$ 的常数项上有所不同。
• 有一条曲线在 $\mathbb{F}_{2^5}$ 上实现了最大点数 71，且是唯一一条在 $\mathbb{F}_2$ 上定义且满足 $a_5 = 14$ 的此类曲线。
• 在 $\mathbb{F}_2$ 上，满足 $|C(\mathbb{F}_2)| = 1$ 且 $|C(\mathbb{F}_{2^4})| = 45$ 的曲线是唯一实现 $\mathbb{F}_{2^4}$ 上最大可能点数的亏格 4 曲线。
• 两条具有不同二次曲面分量的三线型曲线具有同源的雅加比簇；且一条双椭圆型曲线的雅加比簇同源于四个不同的三线型曲线。
• 对于满足 $a_1 = 3$，$a_2 = 3$，$a_3 = 2$，$a_4 = 3$ 的曲线，其雅加比簇的 2-挠子群同构于 $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$。