[论文解读] A central limit theorem for the annealed path measures for the stochastic heat equation and the continuous directed polymer in $d\geq 3$

Chiranjib Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 1

一句话总结

该论文为 $d \geq 3$ 维度下与随机热方程及连续定向聚合物相关的退火路径测度建立了中心极限定理。它提出了一套统一的框架，用于证明在长程时间相关性和奇异空间相互作用下无限维吉布斯测度的存在性与唯一性，表明其收敛于具有显式、严格正方差的非退化高斯极限。

ABSTRACT

We consider a class of Gibbs measures defined with respect to increments of $d$-dimensional Wiener measure. The underlying Hamiltonian is defined by interactions that are invariant under uniform translations of paths, and include {\it{long-range}} dependence in the time variable and {\it{unbounded (singular)}} interactions attached to the space variables, for which perturbative techniques from one-dimensional spin systems do not apply. To handle such class of interactions we develop a unified approach to prove existence and uniqueness of the infinite dimensional Gibbs measures and show validity of a central limit theorem for the rescaled process of increments under the Gibbs measure and obtain an explicit expression for the limiting variance which is strictly positive. As particular models of interest in quantum mechanics, our results cover the Nelson model and the polaron problem with ultraviolet cut off, both carrying bounded spatial interaction with long-range (power law) decay in time, as well as the Frohlich polaron which is singular in space with a short range interaction in time. As a further application, we study the solution of the multiplicative-noise stochastic heat equation in spatial dimensions $d\geq 3$. When the noise is mollified both in time and space, we show that the averages of the diffusively rescaled solutions converge pointwise to the solution of a diffusion equation whose coefficients are homogenized in this limit.

研究动机与目标

• 为具有长程时间相关性和无界空间相互作用的一类路径测度，建立无限维吉布斯测度的存在性与唯一性。
• 分析在吉布斯测度下归一化增量过程的标度极限，并证明其收敛于高斯分布。
• 在中心极限定理中，提供极限方差的显式、严格正表达式。
• 将该框架应用于诸如尼尔森模型和弗罗利希极化子（带紫外截断）等量子力学模型。
• 研究 $d \geq 3$ 维下截断噪声随机热方程的均质化问题。

提出的方法

• 通过使用具有平移不变哈密顿量的 $d$ 维维纳过程的增量，形式化了一类吉布斯测度。
• 提出一种新颖的分析框架，以处理超越微扰方法的长程时间相关性和奇异空间相互作用。
• 运用泛函分析技术，证明无限维吉布斯测度的存在性与唯一性。
• 对路径增量实施归一化处理，并通过渐近分析推导极限方差。
• 利用吉布斯测度框架分析截断噪声随机热方程的解。
• 建立扩散标度下解的逐点收敛性，其收敛于具有有效系数的均质化扩散方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d \geq 3$ 维下，对于具有长程时间相关性和奇异空间相互作用的路径测度，能否建立中心极限定理？
• RQ2 在退火吉布斯测度下，归一化增量过程的极限方差是什么？其是否严格为正？
• RQ3 这些结果如何应用于带紫外截断的尼尔森模型和弗罗利希极化子等量子力学模型？
• RQ4 在扩散标度极限下，截断噪声随机热方程的解是否收敛于均质化扩散方程？
• RQ5 能否开发一个统一框架，以处理高维路径测度中非微扰、奇异的相互作用？

主要发现

• 对于具有长程和奇异相互作用的指定哈密顿量类，无限维吉布斯测度存在且唯一。
• 在吉布斯测度下，归一化增量过程满足中心极限定理，且极限方差严格为正。
• 推导出极限方差的显式表达式，并证明其为正，从而确认了非退化的高斯涨落。
• 该框架适用于带紫外截断的尼尔森模型和弗罗利希极化子，涵盖有界与奇异空间相互作用。
• 对于 $d \geq 3$ 维下的截断随机热方程，扩散标度下的解逐点收敛于均质化扩散方程的解。
• 在均质化极限中，有效扩散系数是良定义的，并由原始噪声结构的平均作用产生。