[论文解读] A central limit theorem for the characters of the infinite symmetric group and of the infinite Hecke algebra

Pierre‐Loïc Méliot|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文建立了无限对称群及其Hecke代数的特征的中心极限定理，表明归一化的不可约特征在它们的极限形状周围呈现高斯波动。通过表示论、RSK对应关系，以及与条件随机游动和高斯矩阵特征值分布的联系，作者证明了在一致测度下，随机杨图的行和列长度收敛到一个高斯过程，将大数定律推广为在托马单形上普遍成立的中心极限定理。

ABSTRACT

In this paper, we review the representation theory of the infinite symmetric group, and we extend the works of Kerov and Vershik by proving that the irreducible characters of the infinite symmetric group always satisfy a central limit theorem. Hence, for any point of the Thoma simplex, the corresponding measures on the levels of the Young graph have a property of gaussian concentration. By using the Robinson-Schensted-Knuth algorithm and the theory of Pitman operators, we relate these results to the properties of certain random permutations obtained by riffle shuffles, and to the behaviour of random walks conditioned to stay in a Weyl chamber.

研究动机与目标

• 将柯罗夫和弗舍克关于无限对称群特征的大数定律推广为一个中心极限定理。
• 建立随机分拆与$\mathfrak{S}_\infty$及其Hecke代数的不可约特征相关的渐近行为中普遍的高斯波动。
• 将随机排列和杨图的渐近统计与Weyl壁中的条件随机游动及高斯酉矩阵的特征值分布联系起来。
• 将先前关于$q$-Plancherel测度的结果推广到托马单形中的任意点，包括趋近原点的情形。
• 探索当参数以$1/\sqrt{n}$的速率收敛于零时，随机分拆模型波动的普遍性，提示其与自由概率的更广泛联系。

提出的方法

• 利用对称函数和组合H opf代数（$\mathbf{FQSym}$与$\mathbf{Sym}$）的形式化方法，对随机排列和分拆进行建模。
• 应用柯罗夫与奥尔尚斯基发展的非交换矩方法，计算累积量并推导渐近分布。
• 依赖罗宾逊-施伦斯特定理（RSK）对应关系，将广义洗牌与杨图的分布联系起来。
• 建立在杨图图上以边际测度$\mathbb{P}_{n,\omega}$为条件的随机游动与Weyl壁中条件随机游动之间的对应关系。
• 使用皮特曼的$\Xi$-算子及奥康奈尔的结果，将行和列的波动与Wishart和高斯酉矩阵的特征值波动联系起来。
• 将分析扩展到Hecke代数$\mathscr{H}_q(\mathfrak{S}_\infty)$，计算琼斯-奥克内阿努迹，并推导$(q,t)$-变形Plancherel测度的渐近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限对称群$\mathfrak{S}_\infty$的不可约特征是否在大数定律之外也满足中心极限定理？
• RQ2 在一致测度下，随机杨图中行和列长度的波动能否由一个高斯过程描述？
• RQ3 广义洗牌生成的随机排列的渐近统计如何与杨图图的几何结构及条件随机游动相关联？
• RQ4 托马单形在参数化随机分拆模型波动普遍行为中起什么作用？
• RQ5 当参数$\omega_n$以$1/\sqrt{n}$的速率收敛于零时，是否存在一个与具体路径无关的普遍极限，支持波动的普遍性？

主要发现

• 对于托马单形中的任意点$\omega$，$\mathfrak{S}_\infty$的不可约特征满足中心极限定理，波动收敛到一个高斯过程。
• 在$\mathbb{P}_{n,\omega}$下，随机杨图的行和列长度表现出联合高斯波动，其分布与GUE矩阵的特征值相同。
• 随机分拆与Weyl壁中条件随机游动之间的联系确保了行/列波动的渐近方差与Wishart和GUE系综中特征值波动的方差一致。
• 中心极限定理在托马单形上一致成立，包括边界点$\omega = \mathbf{0}$，在适当的缩放下依然成立。
• 结果可推广至Hecke代数情形，其中琼斯-奥克内阿努迹产生$(q,t)$-变形的Plancherel测度，并表现出普遍的高斯波动。
• Schur-Weyl测度（在$\omega = \mathbf{0}$附近的一个特例）的波动由一个与参数$c$无关的普遍高斯自由场描述，支持了在原点邻域内波动普遍性的猜想。