[论文解读] A characterisation of toric LCK manifolds

Nicolina Istrati|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文证明了每个非凯勒的紧致环形局部共形凯勒（LCK）流形若为紧致环形LCK流形，则必 admits 一个环形Vaisman结构，从而完成了对紧致环形LCK流形的分类。证明通过平均化构造了一种新的LCK形式，显式实现了共形类中的Vaisman度量，并表明此类流形通过其万有覆盖与紧致环形Sasaki流形一一对应，其万有覆盖为凯勒锥。

ABSTRACT

We prove that a compact toric locally conformally Kähler manifold which is not Kähler admits a toric Vaisman structure, a fact which was conjectured in \cite{mmp}. This is the final step leading to the classification of compact toric locally conformally Kähler manifolds started in \cite{p} and \cite{mmp}. We also show, by constructing an example, that unlike in the symplectic case, toric locally conformally symplectic manifolds are not necessarily toric locally conformally Kähler.

研究动机与目标

• 解决猜想：每个非凯勒的紧致环形LCK流形均 admits 一个环形Vaisman结构。
• 通过将其与紧致环形Sasaki流形关联，完成对紧致环形LCK流形的分类。
• 证明环形局部共形辛（LCS）流形不一定是环形LCK流形，与辛几何情形形成对比。

提出的方法

• 将LCK流形上的全纯环作用扩展至其最小凯勒覆盖上的复化环。
• 将万有覆盖的轨叠群识别为复化环的子群，并将其扩展为一个一维参数子群。
• 通过平均化构造一种新的LCK形式，以确保与环作用相容并保持共形不变性。
• 通过定义合适的函数并证明其满足Vaisman条件，显式构造共形类中的Vaisman度量。
• 利用全纯共形向量场B与JB的存在性，通过Lee形式及其性质推导出Vaisman结构。
• 应用Sasaki几何与接触几何的结果，特别是Lerman的分类定理，将环形LCK结构与紧致环形Sasaki流形关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个非凯勒的紧致环形LCK流形是否都 admits 一个环形Vaisman结构？
• RQ2 能否通过其万有覆盖的几何性质完成对紧致环形LCK流形的分类？
• RQ3 环形LCS流形的类是否严格大于环形LCK流形的类，如同在辛几何情形中一样？
• RQ4 环形LCS流形是否可能不 admits 任何LCK结构？若可能，其条件为何？
• RQ5 环形LCK流形的一阶贝蒂数与其几何结构之间的确切关系为何？

主要发现

• 每个非凯勒的紧致环形LCK流形均 admits 一个环形Vaisman结构，证实了文献[12]中的猜想。
• 此类流形的万有覆盖是紧致环形Sasaki流形上的凯勒锥，建立了几何对应关系。
• 紧致环形LCK流形的一阶贝蒂数在非凯勒时为1，在凯勒时为0，如推论5.4所示。
• 构造了一个反例，表明环形LCS流形不一定是环形LCK流形，该反例流形的b₁(M) = 4。
• 全 holomorphic 共形向量场B与JB的存在性意味着共形类中存在Vaisman度量，从而提供了显式构造。