[论文解读] A Characterization for Decidable Separability by Piecewise Testable Languages

Czerwiński, Wojciech, Wim Martens+3 more|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Oct 4, 2014

semigroups and automata theory被引用 7

一句话总结

本文提供了对某一语言类 𝒞 中可分性是否由分段可测试语言（PTL）可判定的刻画，表明该问题可归约为无界性问题的可判定性以及在稀疏子串序下向下闭包的有效正则性。关键结果是，对于上下文无关语言和向量加法系统等类，即使这些类中 PTL 成员资格不可判定，也存在一个通用条件确保 PTL 可分性可判定。

ABSTRACT

The separability problem for word languages of a class $\mathcal{C}$ by languages of a class $\mathcal{S}$ asks, for two given languages $I$ and $E$ from $\mathcal{C}$, whether there exists a language $S$ from $\mathcal{S}$ that includes $I$ and excludes $E$, that is, $I \subseteq S$ and $S\cap E = \emptyset$. In this work, we assume some mild closure properties for $\mathcal{C}$ and study for which such classes separability by a piecewise testable language (PTL) is decidable. We characterize these classes in terms of decidability of (two variants of) an unboundedness problem. From this, we deduce that separability by PTL is decidable for a number of language classes, such as the context-free languages and languages of labeled vector addition systems. Furthermore, it follows that separability by PTL is decidable if and only if one can compute for any language of the class its downward closure wrt. the scattered substring ordering (i.e., if the set of scattered substrings of any language of the class is effectively regular). The obtained decidability results contrast some undecidability results. In fact, for all (non-regular) language classes that we present as examples with decidable separability, it is undecidable whether a given language is a PTL itself. Our characterization involves a result of independent interest, which states that for any kind of languages $I$ and $E$, non-separability by PTL is equivalent to the existence of common patterns in $I$ and $E$.

研究动机与目标

• 确定对于哪些语言类 𝒞，由分段可测试语言（PTL）实现的可分性问题可判定。
• 在适度的封闭性假设下，识别出 𝒞 上 PTL 可分性可判定的充分必要条件。
• 阐明 PTL 可分性与在稀疏子串序下语言向下闭包的有效正则性之间的关系。
• 将 PTL 可分性的可判定性与许多自然语言类中 PTL 成员资格的不可判定性进行对比。
• 为非正则类（如上下文无关语言和向量加法系统语言）提供一个通用框架。

提出的方法

• 将 PTL 可分性问题归约为与 𝒞 中语言结构相关的无界性问题的可判定性。
• 引入并分析了两个变体的无界性问题，这些问题是刻画 PTL 可分性可判定性的关键。
• 证明 PTL 无法分离等价于语言 I 和 E 中存在共同模式。
• 利用 𝒞 的封闭性质（例如对补集、交集和同态的封闭性）来确保相关语言交集的有效构造。
• 利用 PTL 是形如 A*a1A*...A*anA* 的语言的有限布尔组合这一事实，重点关注符号的顺序与内容。
• 应用形式语言理论中的结果，包括在稀疏子串序下的向下闭包概念，以推导出有效正则性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些语言类 𝒞，通过分段可测试语言分离两个语言 I 和 E 的问题是可判定的？
• RQ2 哪些结构性质确保 𝒞 中任意语言在稀疏子串序下的向下闭包是有效正则的？
• RQ3 两个语言 I 和 E 中共同模式的存在如何与它们无法被 PTL 分离相关联？
• RQ4 为何尽管上下文无关语言类中 PTL 成员资格不可判定，但 PTL 可分性却是可判定的？
• RQ5 是否可将 PTL 可分性的刻画推广到其他分离器类，如正则语言或 PTL 的子类？

主要发现

• 语言类 𝒞 中 PTL 可分性的可判定性等价于与 𝒞 中语言结构相关的特定无界性问题的可判定性。
• 对于任意对补集和同态封闭的语言类 𝒞，PTL 可分性可判定当且仅当 𝒞 中每个语言在稀疏子串序下的向下闭包是有效正则的。
• 尽管判断给定上下文无关语言是否本身是 PTL 是不可判定的，但 PTL 可分性在上下文无关语言和带标签向量加法系统语言中是可判定的。
• PTL 无法分离等价于语言 I 和 E 中存在共同模式，从而为不可分性提供了结构性刻画。
• 本文建立了一个通用框架，可扩展至其他分离器类，提示了基于交集为空问题的正则可分性潜在刻画。
• 结果与一般不可判定的空集和成员资格问题形成对比，表明即使分离器类的成员资格不可判定，可分性仍可能是可判定的。