[论文解读] A characterization of a class of maximum nonlinear functions

Doreen Hertel, Alexander Pott|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文通过分析其坐标函数与余维2子空间的特征函数之间的汉明距离，将 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的黄金幂函数 $x^{2^k+1}$（其中 $\gcd(k,m)=1$）表征为唯一的最大非线性函数。它证明了此类函数具有唯一性，即其坐标函数与所有余维2子空间的交集最小，从而通过沃尔什变换和向量空间几何建立了结构表征。

ABSTRACT

Maximum nonlinear functions on finite fields are widely used in cryptography because the coordinate functions have large distance to linear functions. More precisely, the Hamming distance to the characteristic functions of hyperplanes is large. One class of maximum nonlinear functions are the Gold power functions We characterize these functions in terms of the distance of their coordinate functions to characteristic functions of subspaces of codimension 2.

研究动机与目标

• 通过其坐标函数的几何性质，表征 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上最大非线性函数的类。
• 通过一种新颖的子空间距离准则，识别黄金幂函数 $x^{2^k+1}$（其中 $\gcd(k,m)=1$）为唯一实现最大非线性的函数。
• 基于其与 $\mathbb{F}_{2^m}$ 中余维2子空间的交集，建立最大非线性函数的结构表征。
• 提供最大非线性性的必要且充分条件，基于沃尔什系数和循环向量表示。

提出的方法

• 使用沃尔什变换 $\mathcal{W}_d(\gamma) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{2^m}} (-1)^{\operatorname{tr}(\gamma x + x^d)}$ 分析幂函数的非线性性。
• 分析集合 $D_d = \{x : \operatorname{tr}(x^d) = 1\}$ 与超平面 $H^0(\alpha) = \{x : \operatorname{tr}(\alpha x) = 0\}$ 之间的交集大小 $|D_d \cap H^0(\alpha)|$，并将其与沃尔什系数关联。
• 引入指数 $d$ 的循环二进制向量表示 $\bar{d}$，并定义其循环形式中的“运行”与“间隙”，以分析对称性与周期性。
• 采用一种递归算法，构造 $\bar{d}$ 的子向量 $w$，使得 $|S(w)|$ 为奇数，其中 $S(w)$ 是 $w$ 的所有循环移位中作为 $\bar{d}$ 子串的部分，以检测结构非线性性。
• 利用 $|S(w)|$ 为奇数的条件仅在指数 $d$ 对应该黄金函数时成立，基于 $\bar{d}$ 的权重与运行结构。
• 应用 $\mathcal{L}(F) = 2^{(m+1)/2}$ 对于最大非线性函数成立的事实，并证明在余维2子空间距离条件下，该等式仅对黄金函数成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些向量函数 $F: \mathbb{F}_{2^m} \to \mathbb{F}_{2^m}$ 实现最大非线性性，即 $\mathcal{L}(F) = 2^{(m+1)/2}$？
• RQ2 黄金幂函数 $x^{2^k+1}$（其中 $\gcd(k,m)=1$）能否通过其坐标函数与余维2子空间的距离被唯一表征？
• RQ3 指数 $d$ 的哪些结构特性可确保所有坐标函数 $F_\beta(x) = \operatorname{tr}(\beta F(x))$ 实现最大非线性性？
• RQ4 指数 $d$ 的循环二进制表示如何与函数 $x^d$ 的非线性性相关联？
• RQ5 在 $d$ 的二进制展开中，运行与间隙满足何种条件时，函数 $x^d$ 实现最大非线性性？

主要发现

• 黄金幂函数 $x^{2^k+1}$（其中 $\gcd(k,m)=1$）是唯一满足所有坐标函数 $F_\beta$ 实现最大非线性性的函数 $F: \mathbb{F}_{2^m} \to \mathbb{F}_{2^m}$，即 $\mathcal{L}(F) = 2^{(m+1)/2}$。
• 当且仅当集合 $D_d = \{x : \operatorname{tr}(x^d) = 1\}$ 与 $\mathbb{F}_{2^m}$ 的每个余维2子空间的交集大小为 $2^{m-2}$ 时，函数 $F(x) = x^d$ 为最大非线性。
• 该算法构造了循环二进制向量 $\bar{d}$ 的子向量 $w$，使得 $|S(w)|$ 为奇数当且仅当 $d$ 对应该黄金函数，从而提供一种结构测试方法。
• 当 $\gcd(d, 2^m - 1) = 1$ 时，函数 $x^d$ 为最大非线性，当且仅当 $\bar{d}$ 的权重为2的幂，且运行-间隙结构满足算法条件。
• 本文证明了 $\mathcal{L}(F) = 2^{(m+1)/2}$ 当且仅当函数为黄金函数，从而通过子空间距离完全表征了最大非线性函数类。
• 通过余维2子空间的表征提供了一种新的几何准则，可将黄金函数与其他最大非线性函数区分开来。