[论文解读] A Characterization of Bi-Lipschitz Embeddable Metric Spaces in Terms of Local Bi-Lipschitz Embeddability

Jeehyeon Seo|arXiv (Cornell University)|May 12, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文对具有双倍测度且其相对于闭子集的补集具有统一局部双李普希茨嵌入的均匀完备双倍度量空间进行了表征，证明了此类空间可双李普希茨嵌入欧几里得空间当且仅当其支持双倍测度且其补集相对于闭子集具有统一局部双李普希茨嵌入。关键贡献在于通过惠特尼型分解和共李普希茨条件验证，从局部数据推导出全局嵌入结果，该方法首次证明了格吕兴平面可实现此类嵌入。

ABSTRACT

We characterize uniformly perfect, complete, doubling metric spaces which embed bi- Lipschitzly into Euclidean space. Our result applies in particular to spaces of Grushin type equipped with Carnot-Carathéodory distance. Hence we obtain the first example of a sub-Riemannian mani- fold admitting such a bi-Lipschitz embedding. Our techniques involve a passage from local to global information, building on work of Christ and McShane. A new feature of our proof is the verification of the co-Lipschitz condition. This verification splits into a large scale case and a local case. These cases are distinguished by a relative distance map which is associated to a Whitney-type decom- position of an open subset Ω of the space. We prove that if the Whitney cubes embed uniformly bi-Lipschitzly into a fixed Euclidean space, and if the complement of Ω also embeds, then so does the full space.

研究动机与目标

• 表征可双李普希茨嵌入欧几里得空间的均匀完备双倍度量空间。
• 基于惠特尼型立方体的统一局部嵌入和共李普希茨条件，建立全局双李普希茨可嵌入性的充分条件。
• 解决格吕兴平面是否可双李普希茨嵌入欧几里得空间的开放问题。
• 通过大尺度与局部情形的区分，验证共李普希茨条件，从而拓展克里斯特与麦克沙恩的框架。

提出的方法

• 利用度量空间中开集 Ω 的惠特尼型分解，该分解基于均匀完备性及双倍测度的存在性。
• 在惠特尼立方体 Q** 上构造具有与立方体无关的统一常数的局部双李普希茨嵌入。
• 应用着色映射处理立方体重叠问题，并通过单位分解确保全局嵌入的统一控制。
• 通过将分析划分为大尺度情形（基于相对距离映射）和局部情形，验证共李普希茨条件。
• 将 Ω 的补集与闭子集 Y 的嵌入组合，构造全局双李普希茨嵌入。
• 将该框架应用于格吕兴平面及更一般的由单项式向量场定义的水平分布的格吕兴型空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，均匀完备双倍度量空间可双李普希茨嵌入欧几里得空间？
• RQ2 格吕兴平面在赋予康诺-卡塔莱迪距离时，是否可双李普希茨嵌入欧几里得空间？
• RQ3 共李普希茨条件在从局部到全局双李普希茨嵌入中起什么作用？
• RQ4 如何统一控制克里斯特型局部嵌入以实现全局嵌入？
• RQ5 子黎曼流形需满足何种几何与分析条件，才能确保双李普希茨可嵌入性？

主要发现

• 均匀完备双倍度量空间可双李普希茨嵌入欧几里得空间，当且仅当其支持双倍测度，且相对于闭子集的补集具有与尺度无关的统一局部双李普希茨嵌入。
• 赋予康诺-卡塔莱迪距离的格吕兴平面可双李普希茨嵌入某个欧几里得空间，这是首个具有此性质的子黎曼流形示例。
• 通过关联惠特尼分解的相对距离映射，将共李普希茨条件的验证划分为大尺度情形与局部情形。
• 在惠特尼立方体 Q** 上的统一局部双李普希茨嵌入，结合 Ω 补集的嵌入，可推出全局双李普希茨可嵌入性。
• 嵌入维数与双李普希茨常数取决于测度的双倍常数、维数 M₁ 与 M₂ 以及局部双李普希茨常数。
• 该结果可推广至由单项式定义水平分布的更一般的格吕兴型空间，提示更广泛的子黎曼流形类可能具备此类嵌入性质。